综合与实践数学活动课上，数学老师以“矩形纸片的折叠”为课题开展数学活动：将矩形纸片ABCD对折，使得点A、D重合，点B、C重合，折痕为EF ，展开后沿过点B的直线再次折叠纸片，点A的对应点为点N ，折痕为BM ．

1. 综合与实践

数学活动课上，数学老师以“矩形纸片的折叠”为课题开展数学活动：将矩形纸片ABCD对折，使得点A、D重合，点B、C重合，折痕为EF ，展开后沿过点B的直线再次折叠纸片，点A的对应点为点N ，折痕为BM ．

(1) 如图①，若AB＝BC ，则当点N落在EF上时，BF和BN的数量关系是；∠NBF的度数为；

(2) 思考探究：

在AB＝BC的条件下进一步进行探究，将△BMN沿BN所在的直线折叠，点M的对应点为点 $\text{[math]}$ ，当点 $\text{[math]}$ 落在CD上时，如图②，设BN、 $\text{[math]}$ 分别交EF于点J、K ，若 $\text{[math]}$ ，请求出三角形BJK的面积；

(3) 拓展应用：

如图③，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，AD＝12，将纸片沿过点B的直线折叠，折痕为BM ，点A的对应点为点N ，展开后再将四边形ABNM沿BN所在的直线折叠，点A的对应点为点P ，点M的对应点为点 $\text{[math]}$ ，连接CP、DP ，若PC＝PD ，请直接写出AM的长．

【考点】

含30°角的直角三角形; 矩形的判定与性质; 正方形的判定与性质; 翻折变换（折叠问题）; 四边形的综合;

【答案】

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实践探究题困难

1. 综合与实践

问题：给你两个大小不等的正方形，你能通过切割把他们拼接成一个大正方形吗？

下面是某研究小组的研究过程：

(1) 首先研究两个一样大小的正方形

把两个边长相等的正方形 $\text{[math]}$ 和正方形 $\text{[math]}$ ，按图1所示的方式摆放，沿虚线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 剪开后，可按图1所示的移动方式拼接成四边形形 $\text{[math]}$ ，则四边形形 $\text{[math]}$ 是正方形，请说明理由；

(2) 研究大小不等的两个正方形

把边长不等的两个正方形 $\text{[math]}$ 和正方形 $\text{[math]}$ ，按图2所示的方式摆放，连接 $\text{[math]}$ ，过点D作 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点M ，过点M作 $\text{[math]}$ ，过点E作 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点N ．

①证明四边形 $\text{[math]}$ 是正方形；

②在图2中，将正方形 $\text{[math]}$ 和正方形 $\text{[math]}$ 沿虚线剪开后，能够拼接为正方形 $\text{[math]}$ ，请简略说明你的拼接方法（类比图1，用数字表示对应的图形）．

实践探究题困难