综合与实践问题：给你两个大小不等的正方形，你能通过切割把他们拼接成一个大正方形吗？下面是某研究小组的研究过程：

1. 综合与实践

问题：给你两个大小不等的正方形，你能通过切割把他们拼接成一个大正方形吗？

下面是某研究小组的研究过程：

(1) 首先研究两个一样大小的正方形

把两个边长相等的正方形 $\text{[math]}$ 和正方形 $\text{[math]}$ ，按图1所示的方式摆放，沿虚线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 剪开后，可按图1所示的移动方式拼接成四边形形 $\text{[math]}$ ，则四边形形 $\text{[math]}$ 是正方形，请说明理由；

(2) 研究大小不等的两个正方形

把边长不等的两个正方形 $\text{[math]}$ 和正方形 $\text{[math]}$ ，按图2所示的方式摆放，连接 $\text{[math]}$ ，过点D作 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点M ，过点M作 $\text{[math]}$ ，过点E作 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点N ．

①证明四边形 $\text{[math]}$ 是正方形；

②在图2中，将正方形 $\text{[math]}$ 和正方形 $\text{[math]}$ 沿虚线剪开后，能够拼接为正方形 $\text{[math]}$ ，请简略说明你的拼接方法（类比图1，用数字表示对应的图形）．

【考点】

正方形的判定与性质;

【答案】

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综合题困难

1. 如图1，两张纸片正方形 $\text{[math]}$ 与正方形 $\text{[math]}$ 拼在一起，在 $\text{[math]}$ 边上取 $\text{[math]}$ ，沿 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别剪一刀，将 $\text{[math]}$ 拼至 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 拼至 $\text{[math]}$ ，无缝隙无重叠，如图2．

(1) 求证： $\text{[math]}$ ．

(2) 求证：四边形 $\text{[math]}$ 是正方形．

(3) 仿照题中的剪拼方法，剪两刀把图3中两个正方形剪拼成一个更大的正方形，在图中作出剪拼线，并完成拼图．

综合题普通

2. 如图，已知 $\text{[math]}$ 中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，垂足为D， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求AD的长．小明同学将图形进行翻折，请按照小明的思路，探究并解答下列问题：

(1) 分别以AB、AC为对称轴，画出 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的轴对称图形，D点的对称点为E、F，延长EB、FC相交于点G．证明四边形AEGF是正方形；

(2) 求AD的长．

综合题普通

3. 下面我们做一次折叠活动：

第一步，在一张宽为2的矩形纸片的一端，利用图（1）的方法折出一个正方形，然后把纸片展平，折痕为MC；

第二步，如图（2），把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平，折痕为FA；

第三步，折出内侧矩形FACB的对角线AB，并将AB折到图（3）中所示的AD处，折痕为AQ．

根据以上的操作过程，完成下列问题：

(1) 求CD的长．

(2) 请判断四边形ABQD的形状，并说明你的理由．

综合题普通