数学家祖冲之曾给出圆周率的两个近似值：“约率”与“密率” ．它们可用“调日法”得到：称小于3.1415926的近似值为弱率，大于3.1415927的近似值为强率．由，取3为弱率，4为强率，得，故为强率，与上一次的弱率3计算得，故为强率，继续计算，……．若某次得到的近似值为强率，与上一次的弱率继续计算得到新的近似值；若某次得到的近似值为弱率，与上一次的强率继续计算得到新的近似值，依此类推，已知，则；．

1. 如图1是第七届国际数学教育大会的会徽，它的主题图案是由图2所示的直角三角形演化而成的，设其中的第一个直角三角形 $\text{[math]}$ 是等腰三角形，且 $\text{[math]}$ ，它可以形成近似的等角螺线，记 $\text{[math]}$ 的长度组成数列 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ =.

填空题容易

2. 数列 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

填空题容易

3. 已知数列{ $\text{[math]}$ }满足 $\text{[math]}$ （n∈ $\text{[math]}$ ）， $\text{[math]}$ ，则数列 $\text{[math]}$ 的通项公式为．

填空题容易

1. 已知 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ 的最小k为。

填空题普通

2. 已知数列 $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

填空题普通

3. 已知数列 $\text{[math]}$ 的各项均为正数，其前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ 给出下列四个结论：

① $\text{[math]}$ 的第2项小于3； ② $\text{[math]}$ 为等比数列；

③ $\text{[math]}$ 为递减数列； ④ $\text{[math]}$ 中存在小于 $\text{[math]}$ 的项。

其中所有正确结论的序号是．

填空题困难

1. 已知 $\text{[math]}$ 为正项数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项的乘积，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A. 16 B. 32 C. 64 D. 128

单选题普通

2. 对于数列 $\text{[math]}$ ，规定 $\text{[math]}$ 为数列 $\text{[math]}$ 的一阶差分，其中 $\text{[math]}$ ，规定 $\text{[math]}$ 为数列 $\text{[math]}$ 的k阶差分，其中 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A. 7 B. 9 C. 11 D. 13

单选题普通

3. 已知数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

单选题容易

1. 某企业2022年年初有资金5千万元，由于引进了先进生产设备，资金年平均增长率可达到50%，每年年底扣除下一年的消费基金 $\text{[math]}$ 千万元后，剩余资金投入再生产.设从2022年的年底起，每年年底企业扣除消费基金后的剩余资金依次为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， …

(1) 写出 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，并证明数列 $\text{[math]}$ 是等比数列；

(2) 至少到哪一年的年底，企业的剩余资金会超过21千万元？

解答题普通

2. 若正实数数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则称 $\text{[math]}$ 是一个对数凸数列；若实数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则称 $\text{[math]}$ 是一个凸数列。已知 $\text{[math]}$ 是一个对数凸数列， $\text{[math]}$ ．

(1) 证明： $\text{[math]}$ ；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ ；

(3) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最大值．

解答题困难

3. 入冬以来，东北成为全国旅游话题的“顶流”．南方游客纷纷北上，体验东北最美的冬天．某景区为给顾客更好的体验，推出了A和B两个套餐服务，并在购票平台上推出了优惠券活动，顾客可自由选择A和B两个套餐之一，下表是该景区在购票平台10天销售优惠券情况．

日期t	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
销售量y（千张）	1.9	1.98	2.2	2.36	2.43	2.59	2.68	2.76	2.7	0.4

经计算可得： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 由于同时在线人数过多，购票平台在第10天出现网络拥堵，导致当天顾客购买的优惠券数量大幅减少，现剔除第10天数据，求y关于t的回归方程（精确到0.01），并估计第10天的正常销量；

(2) 假设每位顾客选择A套餐的概率为 $\text{[math]}$ ，选择B套餐的概率为 $\text{[math]}$ ，其中A套餐包含一张优惠券，B套餐包含两张优惠券，截止某一时刻，该平台恰好销售了n张优惠券，设其概率为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ；

(3) 记（2）中所得概率 $\text{[math]}$ 的值构成数列 $\text{[math]}$ ．

①求数列 $\text{[math]}$ 的最值；

②数列收敛的定义：已知数列 $\text{[math]}$ ，若对于任意给定的正数ε，总存在正整数 $\text{[math]}$ ，使得当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，（a是一个确定的实数），则称数列 $\text{[math]}$ 收敛于a．根据数列收敛的定义证明数列 $\text{[math]}$ 收敛．

回归方程 $\text{[math]}$ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

解答题困难

1. 已知数列 $\text{[math]}$ 的各项均为正数，其前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ 给出下列四个结论：

① $\text{[math]}$ 的第2项小于3； ② $\text{[math]}$ 为等比数列；

③ $\text{[math]}$ 为递减数列； ④ $\text{[math]}$ 中存在小于 $\text{[math]}$ 的项。

其中所有正确结论的序号是．

填空题困难