某企业2022年年初有资金5千万元，由于引进了先进生产设备，资金年平均增长率可达到50%，每年年底扣除下一年的消费基金千万元后，剩余资金投入再生产.设从2022年的年底起，每年年底企业扣除消费基金后的剩余资金依次为，，， …

1. 某企业2022年年初有资金5千万元，由于引进了先进生产设备，资金年平均增长率可达到50%，每年年底扣除下一年的消费基金 $\text{[math]}$ 千万元后，剩余资金投入再生产.设从2022年的年底起，每年年底企业扣除消费基金后的剩余资金依次为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， …

(1) 写出 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，并证明数列 $\text{[math]}$ 是等比数列；

(2) 至少到哪一年的年底，企业的剩余资金会超过21千万元？

【考点】

等比数列概念与表示; 数列的应用; 数列的递推公式;

【答案】

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解答题普通

1. 已知集合 $\text{[math]}$ ．给定数列 $\text{[math]}$ ，和序列 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ，对数列 $\text{[math]}$ 进行如下变换：将 $\text{[math]}$ 的第 $\text{[math]}$ 项均加1，其余项不变，得到的数列记作 $\text{[math]}$ ；将 $\text{[math]}$ 的第 $\text{[math]}$ 项均加1，其余项不变，得到数列记作 $\text{[math]}$ ；……；以此类推，得到 $\text{[math]}$ ，简记为 $\text{[math]}$ ．

(1) 给定数列 $\text{[math]}$ 和序列 $\text{[math]}$ ，写出 $\text{[math]}$ ；

(2) 是否存在序列 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ ，若存在，写出一个符合条件的 $\text{[math]}$ ；若不存在，请说明理由；

(3) 若数列 $\text{[math]}$ 的各项均为正整数，且 $\text{[math]}$ 为偶数，求证：“存在序列 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 的各项都相等”的充要条件为“ $\text{[math]}$ ”．

解答题困难

2. 设 $\text{[math]}$ 为给定的正奇数，定义无穷数列 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 若 $\text{[math]}$ 是数列 $\text{[math]}$ 中的项，则记作 $\text{[math]}$ .

(1) 若数列 $\text{[math]}$ 的前6项各不相同，写出 $\text{[math]}$ 的最小值及此时数列的前6项；

(2) 求证：集合 $\text{[math]}$ 是空集；

(3) 记集合 $\text{[math]}$ 正奇数 $\text{[math]}$ ，求集合 $\text{[math]}$ .

（若 $\text{[math]}$ 为任意的正奇数，求所有数列 $\text{[math]}$ 的相同元素构成的集合 $\text{[math]}$ .）

解答题困难

3. 已知数列A： $\text{[math]}$ 的各项均为正整数，设集合 $\text{[math]}$ ，记T的元素个数为 $\text{[math]}$ ．

(1) 若数列A：1，2，4，3，求集合T ，并写出 $\text{[math]}$ 的值；

(2) 若A是递增数列，求证：“ $\text{[math]}$ ”的充要条件是“A为等差数列”；

(3) 若 $\text{[math]}$ ，数列A由 $\text{[math]}$ 这 $\text{[math]}$ 个数组成，且这 $\text{[math]}$ 个数在数列A中每个至少出现一次，求 $\text{[math]}$ 的取值个数．

解答题困难