综合与实践九年级（1）班同学在数学老师的指导下，以“三角形的旋转”为主题，开展数学活动．

1. 综合与实践

九年级（1）班同学在数学老师的指导下，以“三角形的旋转”为主题，开展数学活动．

(1) 操作探究：

如图1， $\text{[math]}$ 为等边三角形，将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 旋转 $\text{[math]}$ ，得到 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系是．

(2) 迁移探究：

如图2，（1）中的其他条件不变，当 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转 $\text{[math]}$ ，得到 $\text{[math]}$ ，求出此时 $\text{[math]}$ 的度数及 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系．

(3) 拓展应用：

如图3，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 旋转，得到 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ ．当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的长．

【考点】

旋转的性质; 三角形的综合;

【答案】

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实践探究题困难

1. 如图

(1) 提出问题：

如图1，在△ABC中，BC＝5，点A为动点，且满足AC＝4，则△ABC的面积最大值为；

(2) 问题探究：

如图2，已知AB⊥BC，EC⊥BC，垂足分别为B、C，AE交BC于点D，AB＝12，BD＝15，DC＝5，求EC的长；

(3) 解决问题：

如图3，某景区内有一块形状为直角三角形ABC的空地，点D为BC边上的中点，△ABD为珍宝馆，计划沿AD边向外扩建一个比较大的自然馆△ADE，地方又不够用，设计师借助外部地皮，想在空地外找一点E，满足 DE⊥CE，连接AE，其中∠ABC＝90°，测得AB＝300 米，BC＝800 米，问自然馆△ADE的面积是否存在最大值？若存在，请求出△ADE面积的最大值；若不存在，请说明理由．

实践探究题困难

2. 综合与实践

“综合与实践”是以问题为中心，以活动为平台，以解决某一实际的数学问题为目标，综合应用知识和方法解决问题，它是对数学知识的延伸和发展，是对理解、运用数学基础知识和基本技能的升华过程.请同学们运用你所学的数学知识来研究和解决以下问题吧.

动手操作

第一步：在图1中，测得三角形纸片 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

第二步：将图1中的 $\text{[math]}$ 纸片折叠，使点 $\text{[math]}$ 落在边 $\text{[math]}$ 上的点 $\text{[math]}$ 处，然后展平，得到折痕 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，如图2．