已知函数的定义域为，为大于的常数，对任意，都满足，则称函数在上具有“性质”．

1. 已知函数 $\text{[math]}$ 的定义域为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为大于 $\text{[math]}$ 的常数，对任意 $\text{[math]}$ ，都满足 $\text{[math]}$ ，则称函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上具有“性质 $\text{[math]}$ ”．

(1) 试判断函数 $\text{[math]}$ 和函数 $\text{[math]}$ 是否具有“性质 $\text{[math]}$ ”（无需证明）；

(2) 若函数 $\text{[math]}$ 具有“性质 $\text{[math]}$ ”，且 $\text{[math]}$ ，求证：对任意 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ ；

(3) 若函数 $\text{[math]}$ 的定义域为 $\text{[math]}$ ，且具有“性质 $\text{[math]}$ ”，试判断下列命题的真假，并说明理由，

①若 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上是严格增函数，则此函数在 $\text{[math]}$ 上也是严格增函数；

②若 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上是严格减函数，则此函数在 $\text{[math]}$ 上也是严格减函数．

【考点】

函数单调性的判断与证明;

【答案】

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解答题普通

1. 已知函数 $\text{[math]}$ ．

(1) 当 $\text{[math]}$ 时，判断 $\text{[math]}$ 的单调性；

(2) 若 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上的最大值为 $\text{[math]}$ ．

（i）求实数a的值；

（ii）若函数 $\text{[math]}$ ，是否存在正实数b，使得对区间 $\text{[math]}$ 上任意三个实数r，s，t，都存在以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为边长的三角形？若存在，求实数b的取值范围；若不存在，请说明理由．

解答题困难

2. 已知 $\text{[math]}$ ，函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上的最小值为 $\text{[math]}$

(1) 求函数 $\text{[math]}$ 的表达式；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值及此时函数 $\text{[math]}$ 的最大值.

解答题普通

3. 已知函数 $\text{[math]}$ .判断 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上的单调性，并用定义法证明.

解答题普通