如图1，AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，AD、BE相交于点M，连接MC．

1. 如图1，AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，AD、BE相交于点M，连接MC．

(1) 求证：BE＝AD；

(2) 用含α的式子表示∠AMB的度数（直接写出结果）；

(3) 当 $\text{[math]}$ 时，取AD，BE的中点分别为点P、Q，连接CP，CQ，PQ，如图2，判断△CPQ的形状，并加以证明．

【考点】

等腰直角三角形; 三角形全等的判定-SAS;

【答案】

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综合题普通

1. 已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，点D是直线BC上的一动点（点D不与B，C重合），连接CE.

(1) 在图1中，当点D在边BC上时，求证：BC=CE+CD；

(2) 在图2中，当点D在边BC的延长线上时，结论BC=CE+CD是否还成立？若不成立，请猜想BC，CE， CD之间存在的数量关系，并说明理由；

(3) 在图3中，当点D在边BC的反向延长线上时，不需写证明过程，直接写出BC，CE， CD之间存在的数量关系及直线CE与直线BC的位置关系.

综合题困难

2. 小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．

(1) 问题发现：如图1，若△ABC和△ADE均是顶角为40°的等腰三角形，BC、DE分别是底边，求证：BD＝CE；

(2) 拓展探究：如图2，若△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一条直线上，连接BE ，则∠AEB的度数为；线段BE与AD之间的数量关系是；

(3) 解决问题：如图3，若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一条直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE ，请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系并说明理由．

综合题普通

3. $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 都是等腰直角三角形， $\text{[math]}$ .

(1) 如图1，点D、E在 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足怎样的数量关系和位置关系？（直接写出答案不证明）

(2) 如图2，点D在 $\text{[math]}$ 内部，点E在 $\text{[math]}$ 外部，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足怎样的数量关系和位置关系？请说明理由.

综合题普通