如图，已知三棱柱的高为2，底面ABC是边长为2的正三角形．

1. 如图，已知三棱柱 $\text{[math]}$ 的高为2，底面ABC是边长为2的正三角形．

(1) 求四棱锥 $\text{[math]}$ 的体积；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，求证：侧面 $\text{[math]}$ 为矩形．

【考点】

棱柱的结构特征; 棱柱、棱锥、棱台的体积;

【答案】

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解答题普通

1. 在边长为a的正方体 $\text{[math]}$ 上选择四个顶点，然后将它们两两相连，且这四个顶点组成的几何图形为每个面都是等边三角形的四面体，记为四面体 $\text{[math]}$ ．

(1) 请在给出的正方体中画出该四面体，并证明；

(2) 设 $\text{[math]}$ 的中心为O， $\text{[math]}$ 关于点O的对称的四面体记为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的公共部分的体积．（注：到各个顶点距离相等的点称为四面体的中心）

解答题普通

2. 已知六棱锥P－ABCDEF，其中底面ABCDEF是正六边形，点P在底面的投影是正六边形的中心，底面边长为2 cm，侧棱长为3 cm，求六棱锥P－ABCDEF的表面积和体积．

解答题普通

3. 长方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ =12， $\text{[math]}$ =10， $\text{[math]}$ =6，过 $\text{[math]}$ 作长方体的截面 $\text{[math]}$ 使它成为正方形，

(1) 求截面 $\text{[math]}$ 将正方体分成的两部分的体积比；

(2) 求 $\text{[math]}$

解答题普通