“爆竹声中一岁除，春风送暖入屠苏.千门万户曈曈日，总把新桃换旧符.”春节将至，置办年货是中国寻常百姓家不可或缺的大事.小明随妈妈去置办年货，购买了灯笼、窗花、坚果，其中灯笼每只20元，窗花每张8元，坚果每包150元，若小明和妈妈一共用了428元（三种年货都有购买），则最多能买灯笼只.

1. 2019年11月，联合国教科文组织将每年的3月14日定为“国际数学日”，也被许多人称为“ $\text{[math]}$ 节”．附中今年“ $\text{[math]}$ 节”策划了五个活动，规则如下：

“ $\text{[math]}$ 节”活动规则

·活动前每人先发放两枚“ $\text{[math]}$ 币”

·每参与一个活动消耗两枚“ $\text{[math]}$ 币”

·没有“ $\text{[math]}$ 币”不能参与活动

·每个活动至多参与一次

·挑战成功，按右表发放奖励

·挑战失败，谢谢参与

活动名称	奖励的“ $\text{[math]}$ 币”数量/枚
数独	4
魔方	4
华容道	6
鲁班锁	6
汉诺塔	8

小达参与了所有活动．

（1）若小达只挑战成功一个，则挑战成功的活动名称为；

（2）若小达共挑战成功两个，且他参与的第四个活动成功，则小达最终剩下的“ $\text{[math]}$ 币”数量的所有可能取值为

填空题普通

2. 破译密码：根据下面五个已知条件，可推断出正确的密码是．

6

2

8

只有一个号码正确且位置正确

6

1

9

只有一个号码正确但位置不正确

8

7

6

只有两个号码正确但位置都不正确

5

3

2

三个号码都不正确

2

5

7

只有一个号码正确但位置不正确

填空题普通

3. 小明沿街心公园的环形跑道从起点出发按逆时针方向跑步，他用软件记录了跑步的轨迹，他每跑1km软件会在运动轨迹上标注相应的路程，前5 km 的记录如图所示.已知该环形跑道一圈的周长大于1km.小明恰好跑3圈时，路程5km?(填“超过”或“不超过”)

填空题普通

1. 甲、乙、丙、丁四位同学在操场上踢足球，不小心打碎了玻璃窗．老师问他们是谁打碎了玻璃窗．

甲说：“是丙，也可能是丁打碎的．”

乙说：“一定是丁打碎的．”

丙说：“我没有打碎玻璃窗．”

丁说：“我没有干这件事．”

若四位同学中只有一位说了谎话，由此我们可以推断，打碎玻璃的同学是（）

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

单选题容易

2. A，B，C，D，E五名学生猜测自己能否进入市中国象棋前三强．A说：“如果我进入，那么B也进入．”B说：“如果我进入，那么C也进入．”C说：“如果我进入，那么D也进入．”D说：“如果我进入，那么E也进入，”大家都没有说错，则进入前三强的三个人是（）

A. A，B，C B. B，C，D C. D，E，A D. C，D，E

单选题普通

3. 在证明过程中，不能用来作为推理依据的是（　　）

A. 公理 B. 定理 C. 定义 D. 命题

单选题容易

1. 类比等腰三角形的定义，我们定义：一组邻边相等的四边形叫做“等邻边四边形”.

(1) 如图①，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，对角线 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ .求证：四边形 $\text{[math]}$ 为等邻边四边形；

(2) 如图②，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，在线段 $\text{[math]}$ 上找一点 $\text{[math]}$ ，使得四边形 $\text{[math]}$ 为等邻边四边形，则 $\text{[math]}$ 的长为；

(3) 如图③，在 $\text{[math]}$ 的正方形网格中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 三点均在格点上，若 $\text{[math]}$ 为等邻边四边形，则所有符合条件的格点 $\text{[math]}$ 有个.

解答题困难

2. 如图，在8个格子中依次放着分别写有字母a～h的小球．

甲、乙两人轮流从中取走小球，规则如下：

①每人首次取球时，只能取走2个或3个球；后续每次可取走1个，2个或3个球；

②取走2个或3个球时，必须从相邻的格子中取走；

③最后一个将球取完的人获胜．

(1) 若甲首次取走写有b，c，d的3个球，接着乙首次也取走3个球，则（填“甲”或“乙”）一定获胜；

(2) 若甲首次取走写有a，b的2个球，乙想要一定获胜，则乙首次取球的方案是．

填空题困难

3. 设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是两个不相等的正整数， $\text{[math]}$ 为质数，满足 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 是整数．

(1) 求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 求 $\text{[math]}$ 的值；

(3) 求 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的值．

综合题困难

1. 下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．

三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180°，

已知：如图， $\text{[math]}$ ，

求证： $\text{[math]}$

方法一

证明：如图，过点A作 $\text{[math]}$

方法二

证明：如图，过点C作 $\text{[math]}$

证明题普通

2. 发现两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和．验证：如， $\text{[math]}$ 为偶数，请把10的一半表示为两个正整数的平方和．探究：设“发现”中的两个已知正整数为m ， n ，请论证“发现”中的结论符合题意．

解答题普通

3. 数学上有很多著名的猜想，“奇偶归一猜想”就是其中之一，它至今未被证明，但研究发现，对于任意一个小于 $\text{[math]}$ 的正整数，如果是奇数，则乘3加1；如果是偶数，则除以2，得到的结果再按照上述规则重复处理，最终总能够得到1．对任意正整数 $\text{[math]}$ ，按照上述规则，恰好实施5次运算结果为1的 $\text{[math]}$ 所有可能取值的个数为（）

A. 8 B. 6 C. 4 D. 3

单选题困难