如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“奇妙三角形”.

1. 如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“奇妙三角形”.

(1) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ 是“奇妙三角形”；

(2) 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 是“奇妙三角形”，求 $\text{[math]}$ 的长.

【考点】

等腰三角形的性质; 勾股定理;

【答案】

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综合题普通

1. 《西江月》中描述：平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地…；翻译成现代文为：如图，秋千 $\text{[math]}$ 静止的时候，踏板离地高一尺（ $\text{[math]}$ 尺）将它往前推进两步（ $\text{[math]}$ 尺），此时踏板升高离地五尺（ $\text{[math]}$ 尺），求秋千绳索 $\text{[math]}$ 的长度．

综合题普通

2. 会一门艺术、优雅生活！巴蜀中学一年一度的艺术节于12月26日开幕，同学们编排节目、设计活动、制作海报，热情高涨．如图是初二某班同学设计制作的艺术节海报展示支架，其中支架底坐 $\text{[math]}$ 长 $\text{[math]}$ 长 $\text{[math]}$ 为支撑杆，支撑点 $\text{[math]}$ 可以沿着 $\text{[math]}$ 上下自由滑动，从而实现 $\text{[math]}$ 倾斜程度的改变．

(1) 当支撑点在 $\text{[math]}$ 中点时，连接 $\text{[math]}$ ，测得 $\text{[math]}$ ，求支撑杆 $\text{[math]}$ 的长度．

(2) 当支撑点在 $\text{[math]}$ 处时，连接 $\text{[math]}$ 比 $\text{[math]}$ 长 $\text{[math]}$ ，求此时 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 的距离．

综合题普通

3. 等腰 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点A是y轴的正半轴上的动点，点B在x轴的正半轴上；

(1) 如图1，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求C点坐标；

(2) 如图2，如图，以 $\text{[math]}$ 为直角边在y轴的左边作等腰 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，试问A点在运动过程中 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 面积的比值是否会发生变化？如果没有变化，请求出 $\text{[math]}$ ．若变化，请说明理由．

(3) 如图3，点 $\text{[math]}$ ， E在x轴负半轴上的动点，且 $\text{[math]}$ ．以 $\text{[math]}$ 为边在第二象限作等腰 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 轴于P点，问：在运动过程中 $\text{[math]}$ 的面积大小是否变化？若不变，请求出面积；若变化，请求出其取值范围．

综合题困难