【数学初探】在数学课上，叶老师提出了一个探究型问题：“如图1，你能借助锐角画出一个菱形，使为该菱形的一个内角吗？”雷同学提出了自己的见解：如图2，①作的平分线AE，交BC于点E；②作AE的中垂线l分别交AB、AC、AE于点F、G、H；③连接EF，EG，则四边形AFEG是菱形．

1. 【数学初探】

在数学课上，叶老师提出了一个探究型问题：“如图1，你能借助锐角 $\text{[math]}$ 画出一个菱形，使 $\text{[math]}$ 为该菱形的一个内角吗？”雷同学提出了自己的见解：如图2，①作 $\text{[math]}$ 的平分线AE，交BC于点E；②作AE的中垂线l分别交AB、AC、AE于点F、G、H；③连接EF，EG，则四边形AFEG是菱形．

(1) 请你帮助雷同学证明四边形AFEG是菱形．

(2) 【深入探究】

雷同学开启大胆尝试，如图3，将 $\text{[math]}$ 的中线BO延长至点D，使 $\text{[math]}$ ，连接AD，CD，平移图2中的直线l（平移过程中直线l与AB、AC、AE的交点仍为F、G、H），当直线l恰好经过点D时，他通过测量发现了线段OG与线段BF存在特定的数量关系．

请你写出线段OG与线段BF的数量关系，并求证．

(3) 【迁移应用】
如图4，在（2）的条件下，若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的值．

【考点】

线段垂直平分线的性质; 菱形的判定;

【答案】

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综合题困难

1. 如图，▱ABCD中，点E是CD的中点，连接AE并延长交BC延长线于点F．

(1) 求证：CF=AD

(2) 连接BD，DF，

①当∠ABC=90°时，△BDF的形状是；

②若∠ABC=50°，当∠CFD=°时，四边形ABCD是菱形．

综合题普通

2. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 垂直平分 $\text{[math]}$ ，分别交 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 垂直平分 $\text{[math]}$ ，分别交 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

(1) 若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的周长等于.

(2) 若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数

综合题普通

3. 尺规作图：如图，已知线段a，b．

求作：菱形ABCD，使其一条对角线的长等于线段a的长，边长等于线段b的长．

作法：①作直线m，在m上截取线段 $\text{[math]}$ ；

②作线段AC的垂直平分线EF，交线段AC于点O；

③以点A为圆心，线段b的长为半径画弧，交直线EF于点B，D；

④分别连接AB，BC，CD，DA；

则四边形ABCD就是所求作的菱形．

(1) 使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

(2) 完成下面的证明．

证明：∵EF垂直平分AC，

∴AB= ▲ ， ▲ = ▲ ，（）

∵ $\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ ，

∴四边形ABCD是菱形．（）

综合题普通