如图，▱ABCD中，点E是CD的中点，连接AE并延长交BC延长线于点F．

1. 如图，▱ABCD中，点E是CD的中点，连接AE并延长交BC延长线于点F．

(1) 求证：CF=AD

(2) 连接BD，DF，

①当∠ABC=90°时，△BDF的形状是；

②若∠ABC=50°，当∠CFD=°时，四边形ABCD是菱形．

【考点】

菱形的判定;

【答案】

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综合题普通

1. 尺规作图：如图，已知线段a，b．

求作：菱形ABCD，使其一条对角线的长等于线段a的长，边长等于线段b的长．

作法：①作直线m，在m上截取线段 $\text{[math]}$ ；

②作线段AC的垂直平分线EF，交线段AC于点O；

③以点A为圆心，线段b的长为半径画弧，交直线EF于点B，D；

④分别连接AB，BC，CD，DA；

则四边形ABCD就是所求作的菱形．

(1) 使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

(2) 完成下面的证明．

证明：∵EF垂直平分AC，

∴AB= ▲ ， ▲ = ▲ ，（）

∵ $\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ ，

∴四边形ABCD是菱形．（）

综合题普通

2. 如图，在四边形 $\text{[math]}$ 中，对角线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ .

(1) 给出下列四个条件：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ ，上述四个条件中，选择一个合适的条件，使四边形 $\text{[math]}$ 是菱形，这个条件可以是（填写一个序号即可）；

(2) 根据你所选择的条件，证明四边形 $\text{[math]}$ 是菱形.

综合题普通

3. 老师布置了一个作业，如下：

已知：如图1 $\text{[math]}$ 的对角线 $\text{[math]}$ 的垂直平分线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．求证：四边形 $\text{[math]}$ 是菱形．

嘉琪同学写出了如图2所示的证明过程，老师说嘉琪同学的作业是错误的．请你解答下列问题：

(1) 能找出该同学错误的原因吗？请你指出来；

(2) 请你给出本题的符合题意证明过程．

综合题普通