如图，在四边形中，对角线与相交于点，，平分 .

1. 如图，在四边形 $\text{[math]}$ 中，对角线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ .

(1) 给出下列四个条件：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ ，上述四个条件中，选择一个合适的条件，使四边形 $\text{[math]}$ 是菱形，这个条件可以是（填写一个序号即可）；

(2) 根据你所选择的条件，证明四边形 $\text{[math]}$ 是菱形.

【考点】

菱形的判定;

【答案】

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综合题普通

1. 如图，▱ABCD中，点E是CD的中点，连接AE并延长交BC延长线于点F．

(1) 求证：CF=AD

(2) 连接BD，DF，

①当∠ABC=90°时，△BDF的形状是；

②若∠ABC=50°，当∠CFD=°时，四边形ABCD是菱形．

综合题普通

2. 尺规作图：如图，已知线段a，b．

求作：菱形ABCD，使其一条对角线的长等于线段a的长，边长等于线段b的长．

作法：①作直线m，在m上截取线段 $\text{[math]}$ ；

②作线段AC的垂直平分线EF，交线段AC于点O；

③以点A为圆心，线段b的长为半径画弧，交直线EF于点B，D；

④分别连接AB，BC，CD，DA；

则四边形ABCD就是所求作的菱形．

(1) 使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

(2) 完成下面的证明．

证明：∵EF垂直平分AC，

∴AB= ▲ ， ▲ = ▲ ，（）

∵ $\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ ，

∴四边形ABCD是菱形．（）

综合题普通

3. 下面是小明设计的“在一个平行四边形内作菱形”的尺规作图过程．

已知：四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形．

求作：菱形 $\text{[math]}$ （点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上）．

作法：①以 $\text{[math]}$ 为圆心， $\text{[math]}$ 长为半径作弧，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ；

②以 $\text{[math]}$ 为圆心， $\text{[math]}$ 长为半径作弧，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ；

③连接 $\text{[math]}$ ．

所以四边形 $\text{[math]}$ 为所求的菱形．

根据小明设计的尺规作图过程，

(1) 使用直尺和圆规，补全图形；

（保留作图痕迹）

(2) 完成下面的证明．

证明： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．

在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，

即 $\text{[math]}$ ．

$\text{[math]}$ 四边形 $\text{[math]}$ 为平行四边形．（）（填推理的依据）

$\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ 四边形 $\text{[math]}$ 为菱形．（）（填推理的依据）

综合题普通