如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中：①当时，它是菱形；②当时，它是菱形；③当时，它是矩形；④当时，它是正方形，正确的有.

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1. 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中：①当 $\text{[math]}$ 时，它是菱形；②当 $\text{[math]}$ 时，它是菱形；③当 $\text{[math]}$ 时，它是矩形；④当 $\text{[math]}$ 时，它是正方形，正确的有.

【考点】

菱形的判定; 矩形的判定; 正方形的判定;

【答案】

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填空题普通

基础巩固

能力提升

变式训练

拓展培优

真题演练

换一批

1. 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中：①当 $\text{[math]}$ 时，它是菱形；②当 $\text{[math]}$ 时，它是菱形；③当 $\text{[math]}$ 时，它是矩形；④当 $\text{[math]}$ 时，它是正方形，正确的有．

填空题容易

2. 如图，已知四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形，从① $\text{[math]}$ ， ② $\text{[math]}$ ， ③ $\text{[math]}$ 中选择一个作为条件，补充后使四边形 $\text{[math]}$ 成为菱形，则其选择是（限填序号）．

填空题容易

3. 如图，在平行四边形ABCD中，添加一个条件使平行四边形ABCD是矩形．

填空题容易

1. 如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AB、CA上，且DE∥CA，DF∥BA.则下列说法：

①四边形AEDF是平行四边形；

②如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形；

③如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；

④如果∠BAC＝90°，AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是正方形．

其中正确的是(只填写序号)．

填空题普通

2. 已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论：①当 $\text{[math]}$ 时，它是菱形；②当 $\text{[math]}$ 时，它是菱形：③当 $\text{[math]}$ 时，它是矩形；④当 $\text{[math]}$ 时，它是正方形，其中正确的是．(填序号)

填空题普通

3. 在平行四边形 $\text{[math]}$ 中，对角线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，分别添加下列条件： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．使得平行四边形 $\text{[math]}$ 是菱形的条件有．（填序号）

填空题普通

1. 如图，四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形，下列结论中错误的是（　　）

A. 当 $\text{[math]}$ ，平行四边形 $\text{[math]}$ 是矩形 B. 当 $\text{[math]}$ ，平行四边形 $\text{[math]}$ 是矩形 C. 当 $\text{[math]}$ ，平行四边形 $\text{[math]}$ 是菱形 D. 当 $\text{[math]}$ ，平行四边形 $\text{[math]}$ 是正方形

单选题容易

2. 已知四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形，下列说法正确的有（）

①当 $\text{[math]}$ 时，它是矩形；②当 $\text{[math]}$ 时，它是菱形；③当 $\text{[math]}$ 时，它是矩形；④当 $\text{[math]}$ 时，它是正方形．

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

单选题容易

3. 已知四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形，下列结论中不正确的是( )

A. 当 $\text{[math]}$ 时，四边形 $\text{[math]}$ 是菱形 B. 当 $\text{[math]}$ 时，四边形 $\text{[math]}$ 是菱形 C. 当 $\text{[math]}$ 时，四边形 $\text{[math]}$ 是矩形 D. 当 $\text{[math]}$ 时，四边形 $\text{[math]}$ 是正方形

单选题普通

1. 综合与实践

顺次连接任意一个四边形的中点得到一个新四边形，我们称这个新四边形为原四边形的中点四边形．数学兴趣小组通过作图、测量，猜想：原四边形的对角线对中点四边形的形状有着决定性作用．

以下从对角线的数量关系和位置关系两个方面展开探究．

【探究一】

原四边形对角线关系	中点四边形形状
不相等、不垂直	平行四边形

如图1，在四边形 $\text{[math]}$ 中，E、F、G、H分别是各边的中点．

求证：中点四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形．

证明：∵E、F、G、H分别是 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的中点，

∴ $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的中位线，

∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （ ① ）

∴ $\text{[math]}$ ．

同理可得： $\text{[math]}$ ．

∴中点四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形．

结论：任意四边形的中点四边形是平行四边形．

(1) 请你补全上述过程中的证明依据.

(2) 【探究二】

原四边形对角线关系	中点四边形形状
不相等、不垂直	平行四边形
$\text{[math]}$	菱形

从作图、测量结果得出猜想Ⅰ：原四边形的对角线相等时，中点四边形是菱形．

下面我们结合图2来证明猜想Ⅰ，请你在探究一证明结论的基础上，写出后续的证明过程．

(3)

【探究三】

原四边形对角线关系	中点四边形形状
不相等、不垂直	平行四边形
$\text{[math]}$	②

从作图、测量结果得出猜想Ⅱ：原四边形对角线垂直时，中点四边形是．

(4) 下面我们结合图3来证明猜想Ⅱ，请你在探究一证明结论的基础上，写出后续的证明过程．

(5) 【归纳总结】
请你根据上述探究过程，补全下面的结论，并在图4中画出对应的图形．

原四边形对角线关系	中点四边形形状
③	④

结论：原四边形对角线时，中点四边形是．

实践探究题普通

2. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，在下列四个条件：①∠ADB=∠ABD，②AC⊥BD，③AC平分∠BAD，④AO=BO.如图，

(1) 选择条件（填序号），求证：四边形ABCD是矩形；

【判定依据】此问用到矩形的判定定理为 .

(2) 选择条件（填序号），求证：四边形ABCD是菱形；

【判定依据】此问用到菱形的判定定理为 .

(3) 选择条件（填序号），求证：四边形ABCD是正方形；

【判定依据】此问用到正方形的判定定理为 .

证明题普通

3. 大新同学在学习北师大版九上第一章《特殊平行四边形》，通过习题1.4的第4题，知道了“如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。”大新设计了一个新的游戏机：如图1，用点表示灯泡，外圈8个灯泡平均分布在大圆内，内圈8个灯泡也平均分布在同一个圆心的小圆上，亮着的4个灯泡形成平行四边形 $\text{[math]}$ 。规定每一次4个灯泡亮，若形成某个特殊平行四边形，可换取对应的五角星★数；示例：图1，可获得 $\text{[math]}$ .

(1) 如果其中亮起的3个灯号为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 三点，则第4个亮着的灯号为哪一.点时，获得的★数 $\text{[math]}$ ？请在图2上画出对应的图形.

(2) 如果获得 $\text{[math]}$ ，其中亮起的2个灯号为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点，则另外2个亮着的灯号可能为哪两个？并请在图3上画出所有的可能的情况.

作图题普通

1. 下列命题，其中是真命题的是（）

A. 对角线互相垂直的四边形是平行四边形 B. 有一个角是直角的四边形是矩形 C. 对角线互相平分的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直的矩形是正方形

单选题普通

2. 如图，在平行四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是对角线 $\text{[math]}$ 上的动点，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是边 $\text{[math]}$ ，边 $\text{[math]}$ 上的动点．下列四种说法：

①存在无数个平行四边形 $\text{[math]}$ ；
②存在无数个矩形 $\text{[math]}$ ；
③存在无数个菱形 $\text{[math]}$ ；
④存在无数个正方形 $\text{[math]}$ ．其中正确的个数是（）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

单选题普通

3. 下列命题，其中是真命题的为（）

A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 一组邻边相等的矩形是正方形

单选题容易