已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论：①当时，它是菱形；②当时，它是菱形：③当时，它是矩形；④当时，它是正方形，其中正确的是．(填序号)

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1. 已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论：①当 $\text{[math]}$ 时，它是菱形；②当 $\text{[math]}$ 时，它是菱形：③当 $\text{[math]}$ 时，它是矩形；④当 $\text{[math]}$ 时，它是正方形，其中正确的是．(填序号)

【考点】

菱形的判定; 矩形的判定;

【答案】

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填空题普通

基础巩固

能力提升

变式训练

拓展培优

真题演练

换一批

1. 如图，已知四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形，从① $\text{[math]}$ ， ② $\text{[math]}$ ， ③ $\text{[math]}$ 中选择一个作为条件，补充后使四边形 $\text{[math]}$ 成为菱形，则其选择是（限填序号）．

填空题容易

2. 如图，在平行四边形ABCD中，添加一个条件使平行四边形ABCD是矩形．

填空题容易

3. 如图，四边形 $\text{[math]}$ 为平行四边形，延长 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，要使四边形 $\text{[math]}$ 成为矩形，可添加一个条件是．(只要写出一个条件即可)

填空题容易

1. 在平行四边形 $\text{[math]}$ 中，对角线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，分别添加下列条件： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．使得平行四边形 $\text{[math]}$ 是菱形的条件有．（填序号）

填空题普通

2. 如图，请添加一个条件使平行四边形 $\text{[math]}$ 成为矩形，这个条件可以是．

填空题普通

3. 如图，在▱ABCD中，再添加一个条件（写出一个即可），▱ABCD是矩形（图形中不再添加辅助线）

填空题普通

1. 已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）

A. 当 $\text{[math]}$ 时，它是菱形 B. 当 $\text{[math]}$ 时，它是矩形 C. 当 $\text{[math]}$ 时，它是矩形 D. 当 $\text{[math]}$ 时，它是菱形

单选题容易

2. 如图，下列条件能使平行四边形 $\text{[math]}$ 是菱形的为（）

① $\text{[math]}$ ； ② $\text{[math]}$ ； ③ $\text{[math]}$ ； ④ $\text{[math]}$ ．

A. ①③ B. ②③ C. ③④ D. ①④

单选题普通

3. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是▱ $\text{[math]}$ 的对角线，要判定▱ $\text{[math]}$ 为矩形，可添加的一个条件是( )

A. $\text{[math]}$ B. $\text{[math]}$ C. $\text{[math]}$ D. $\text{[math]}$

单选题普通

1. 综合与实践

顺次连接任意一个四边形的中点得到一个新四边形，我们称这个新四边形为原四边形的中点四边形．数学兴趣小组通过作图、测量，猜想：原四边形的对角线对中点四边形的形状有着决定性作用．

以下从对角线的数量关系和位置关系两个方面展开探究．

【探究一】

原四边形对角线关系	中点四边形形状
不相等、不垂直	平行四边形

如图1，在四边形 $\text{[math]}$ 中，E、F、G、H分别是各边的中点．

求证：中点四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形．

证明：∵E、F、G、H分别是 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的中点，

∴ $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的中位线，

∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （ ① ）

∴ $\text{[math]}$ ．

同理可得： $\text{[math]}$ ．

∴中点四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形．

结论：任意四边形的中点四边形是平行四边形．

(1) 请你补全上述过程中的证明依据.

(2) 【探究二】

原四边形对角线关系	中点四边形形状
不相等、不垂直	平行四边形
$\text{[math]}$	菱形

从作图、测量结果得出猜想Ⅰ：原四边形的对角线相等时，中点四边形是菱形．

下面我们结合图2来证明猜想Ⅰ，请你在探究一证明结论的基础上，写出后续的证明过程．

(3)

【探究三】

原四边形对角线关系	中点四边形形状
不相等、不垂直	平行四边形
$\text{[math]}$	②

从作图、测量结果得出猜想Ⅱ：原四边形对角线垂直时，中点四边形是．

(4) 下面我们结合图3来证明猜想Ⅱ，请你在探究一证明结论的基础上，写出后续的证明过程．

(5) 【归纳总结】
请你根据上述探究过程，补全下面的结论，并在图4中画出对应的图形．

原四边形对角线关系	中点四边形形状
③	④

结论：原四边形对角线时，中点四边形是．

实践探究题普通

2. 图1、图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点，线段AB的端点都在格点上．请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图．

(1) 在图1中画出两个以AB为斜边的 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，且点C， $\text{[math]}$ 均在格点上；

(2) 在图2中画出一个以AB为对角线的菱形ADBE，且D，E均在格点上．

作图题普通

3. 已知 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ．

(1) 如图1，求证：四边形 $\text{[math]}$ 为矩形；

(2) 如图2，连接 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求证：四边形 $\text{[math]}$ 为菱形．

证明题普通

1. 在下列条件中，能够判定 $\text{[math]}$ 为矩形的是（）

A. $\text{[math]}$ B. $\text{[math]}$ C. $\text{[math]}$ D. $\text{[math]}$

单选题容易

2. 下列命题，其中是真命题的是（）

A. 对角线互相垂直的四边形是平行四边形 B. 有一个角是直角的四边形是矩形 C. 对角线互相平分的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直的矩形是正方形

单选题普通

3. 如图，在平行四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是对角线 $\text{[math]}$ 上的动点，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是边 $\text{[math]}$ ，边 $\text{[math]}$ 上的动点．下列四种说法：

①存在无数个平行四边形 $\text{[math]}$ ；
②存在无数个矩形 $\text{[math]}$ ；
③存在无数个菱形 $\text{[math]}$ ；
④存在无数个正方形 $\text{[math]}$ ．其中正确的个数是（）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

单选题普通