已知随机变量X，Y满足，若，则.

1. 已知随机变量 $\text{[math]}$ 的分布为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则实数 $\text{[math]}$ ．

填空题容易

X	－1	2	4	5
P	0.2	0.35	0.25	0.2

填空题容易

3. 随机变量 $\text{[math]}$ 的分布列如下列表格所示，其中 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的数学期望，则 $\text{[math]}$ .

$\text{[math]}$	1	2	3	4	5
$\text{[math]}$	0.1	$\text{[math]}$	0.2	0.3	0.1

填空题容易

1. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， x为 $\text{[math]}$ 的个位数，求 $\text{[math]}$ 。

填空题普通

2. 从分别写有数字1，2，3，5，9的5张卡片中任取2张，设这2张卡片上的数字之和为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

填空题普通

3. 设随机变量 $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

填空题普通

1. 袋子中有2个黑球，1个白球，现从袋子中有放回地随机取球4次，每次取一个球，取到白球记0分，黑球记1分，记4次取球的总分数为X ，则（）

A. $\text{[math]}$ B. $\text{[math]}$ C. X的期望 $\text{[math]}$ D. X的方差 $\text{[math]}$

多选题普通

2. 在数字通信中，信号是由数字“ $\text{[math]}$ ”和“ $\text{[math]}$ ”组成的序列．现连续发射信号 $\text{[math]}$ 次，每次发射信号“ $\text{[math]}$ ”的概率均为 $\text{[math]}$ ．记发射信号“1”的次数为 $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ 为奇数的概率为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为偶数的概率为 $\text{[math]}$ ，则下列说法中正确的有（）

A. 当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ B. $\text{[math]}$ 时，有 $\text{[math]}$ C. 当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时，当且仅当 $\text{[math]}$ 时概率最大 D. $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 随着 $\text{[math]}$ 的增大而增大

多选题普通

3. 已知随机变量 $\text{[math]}$ ，下列表达式正确的是（）

A. $\text{[math]}$ B. $\text{[math]}$ C. $\text{[math]}$ D. $\text{[math]}$

单选题普通

1. 近年来，开盲盒深受年轻人的喜爱.甲商店推出一款售价为1元/个且外观相同的盲盒，每开一个盲盒，会等可能地开出3款玩偶（分别记为 $\text{[math]}$ 款､ $\text{[math]}$ 款､ $\text{[math]}$ 款）中的某一款.乙商店出售与甲商店款式相同的非盲盒玩偶且售价为3元/个.

(1) 若小明一次性购买了甲商店的3个盲盒，求他至少开出2个 $\text{[math]}$ 款玩偶的概率；

(2) 若小明只想要 $\text{[math]}$ 款玩偶，方案一：直接去乙商店购买；方案二：在甲商店以开盲盒的方式购买，并与老板协商一致，每次开一个盲盒，如果开出 $\text{[math]}$ 款玩偶则停止，否则再开一个盲盒，若连续四次均未开出 $\text{[math]}$ 款玩偶，老板就赠送一个 $\text{[math]}$ 款玩偶给他.为了得到 $\text{[math]}$ 款玩偶，你认为小明应该选择去哪家商店购买更划算，请说明理由.

解答题普通

2. 某校为了解高三学生每天的作业完成时长，在该校高三学生中随机选取了100人，对他们每天完成各科作业的总时长进行了调研，结果如下表所示：

时长（小时）	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
人数（人）	3	4	33	42	18

用表格中的频率估计概率，且每个学生完成各科作业时互不影响.

(1) 从该校高三学生中随机选取1人，估计该生可以在3小时内完成各科作业的概率；

(2) 从样本“完成各科作业的总时长在2.5小时内”的学生中随机选取3人，其中共有 $\text{[math]}$ 人可以在2小时内完成各科作业，求 $\text{[math]}$ 的分布列和数学期望；

(3) 从该校高三学生（学生人数较多）中随机选取3人，其中共有 $\text{[math]}$ 人可以在3小时内完成各科作业，求 $\text{[math]}$ .

解答题普通

3. 为确保饮用水微生物安全性，某自来水厂计划改进原有饮用水消毒方法．据已有数据记录，原有消毒方法对每个大肠杆菌的灭活率均为 $\text{[math]}$ ，现检验出一批未经消毒的水中大肠杆菌含量为500个/升．

(1) 经原有消毒方法处理后，计算一升水中大肠杆菌个数不超出5个的概率；（结果保留3位小数）

(2) 在独立重复实验中， $\text{[math]}$ 为事件 $\text{[math]}$ 在试验中出现的概率， $\text{[math]}$ 为试验总次数，随机变量 $\text{[math]}$ 为事件 $\text{[math]}$ 发生的次数．若 $\text{[math]}$ 较小， $\text{[math]}$ 较大，而 $\text{[math]}$ 的大小适中，不妨记 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，经计算，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ．若随机变量 $\text{[math]}$ 的概率分布密度函数为 $\text{[math]}$ ，称 $\text{[math]}$ 服从参数为 $\text{[math]}$ 的泊松分布，记作 $\text{[math]}$ ．（其中， $\text{[math]}$ 为自然对数底数）

①若经原有消毒方法处理后的一升水中含有的大肠杆菌个数 $\text{[math]}$ 服从泊松分布，计算一升水中大肠杆菌个数不超出5个的概率（结果保留3位小数），并证明： $\text{[math]}$ ；

②改进消毒方法后，从经消毒后的水中随机抽取50升样本，化验每升水中大肠杆菌的个数，结果如下：

大肠杆菌数/升	0	1	2	3	4	5
升数	17	20	10	2	1	0

若每升水中含有的大肠杆菌个数X仍服从泊松分布，要使出现上述情况的概率最大，则改进后的消毒方法对每个大肠杆菌的灭活率为多少？

参考数据：

（Ⅰ）指数函数的幂级数展开式为 $\text{[math]}$ ，

（Ⅱ） $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

解答题困难

1. 设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为 $\text{[math]}$ .假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.

（Ⅰ）用 $\text{[math]}$ 表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量 $\text{[math]}$ 的分布列和数学期望；

（Ⅱ）设 $\text{[math]}$ 为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件 $\text{[math]}$ 发生的概率.

解答题普通

2. 一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则DX=．

填空题容易

3.

某厂用鲜牛奶在某台设备上生产 $\text{[math]}$ 两种奶制品．生产1吨A产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨B产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1200元．要求每天B产品的产量不超过A产品产量的2倍，设备每天生产 $\text{[math]}$ 两种产品时间之和不超过12小时. 假定每天可获取的鲜牛奶数量W（单位：吨）是一个随机变量，其分布列为

（Ⅰ）求Z的分布列和均值；该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z（单位：元）是一个随机变量．

（Ⅱ）若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率．

解答题普通