设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为 .假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立. （Ⅰ）用表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量的分布列和数学期望；（Ⅱ）设为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件发生的概率.

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1. 设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为 $\text{[math]}$ .假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.

（Ⅰ）用 $\text{[math]}$ 表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量 $\text{[math]}$ 的分布列和数学期望；

（Ⅱ）设 $\text{[math]}$ 为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件 $\text{[math]}$ 发生的概率.

【考点】

离散型随机变量及其分布列; 离散型随机变量的期望与方差; 二项分布;

【答案】

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解答题普通

基础巩固

能力提升

变式训练

拓展培优

真题演练

换一批

1. 某校举行“庆元旦”教工羽毛球单循环比赛（任意两个参赛队只比赛一场），共有高一、高二、高三三个队参赛，高一胜高二的概率为 $\text{[math]}$ ，高一胜高三的概率为 $\text{[math]}$ ，高二胜高三的概率为P，每场胜负独立，胜者记1分，负者记0分，规定：积分相同者高年级获胜．

（Ⅰ）若高三获得冠军概率为 $\text{[math]}$ ，求P．

（Ⅱ）记高三的得分为X，求X的分布列和期望．

解答题容易

1. 一次摸奖活动，选手在连续摸奖时，首次中奖得1分，并规定：若连续中奖，则第一次中奖得1分，下一次中奖的得分是上一次得分的两倍：若某次未中奖，则该次得0分，且下一次中奖得1分．已知某同学连续摸奖 $\text{[math]}$ 次，总得分为 $\text{[math]}$ ，每次中奖的概率为 $\text{[math]}$ ，且每次摸奖相互独立．

(1) 当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的概率；

(2) 当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的概率分布列和数学期望；

(3) 当 $\text{[math]}$ 时，判断 $\text{[math]}$ 的数学期望与10的大小，并说明理由．

解答题普通

2. 在坐标平面内 0≤x，y≤n (n≥1) 的区域，随机生成一个横纵坐标均为整数的一个整点P(a，b)(a，b∈Z)，记该点到坐标原点的距离是随机变量X

相关公式： $\text{[math]}$

(1) 当 n=2 时，写出X的分布列和期望.

(2) 记随机变量 a与b分别表示 P(a，b)的横纵坐标.

①求出 a+b 的期望 E(a+b)

②现在实际上选取了四个点 $\text{[math]}$ 尝试运用样本的平均值去估计数学期望，以此来得到估计值 $\text{[math]}$ (四舍五入取整).

(3) 记方差 D(X)，试证明 D(X)< $\text{[math]}$

解答题普通

3. 组合投资需要同时考虑风险与收益．为了控制风险需要组合低风险资产，为了扩大收益需要组合高收益资产，现有两个相互独立的投资项目A和B ，单独投资100万元项目A的收益记为随机变量X ，单独投资100万元项目B的收益记为随机变量Y ．若将100万资金按 $\text{[math]}$ 进行组合投资，则投资收益的随机变量Z满足 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ．假设在组合投资中，可用随机变量的期望衡量收益，可用随机变量的方差衡量风险.

(1) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求Z的期望与方差；

(2) 已知随机变量X满足分布列：

X	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	…	$\text{[math]}$	…	$\text{[math]}$
$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	…	$\text{[math]}$	…	$\text{[math]}$

随机变量Y满足分布列：

Y	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	…	$\text{[math]}$	…	$\text{[math]}$
$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	…	$\text{[math]}$	…	$\text{[math]}$

且随机变量X与Y相互独立，即 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．求证： $\text{[math]}$ ；

(3) 若投资项目X是高收益资产，其每年的收益满足：有30%的可能亏损当前资产的一半；有70%的可能增值当前资产的一倍．投资项目 $\text{[math]}$ 是低风险资产，满足 $\text{[math]}$ ．试问 $\text{[math]}$ 能否满足投资第1年的收益不低于17万，风险不高于500？请说明理由．

解答题困难

1. 袋子中有2个黑球，1个白球，现从袋子中有放回地随机取球4次，取到白球记0分，黑球记1分，记4次取球的总分数为 $\text{[math]}$ ，则（）

A. $\text{[math]}$ B. $\text{[math]}$ C. X的期望 $\text{[math]}$ D. X的方差 $\text{[math]}$

多选题普通

2. 已知随机变量X、Y ，且 $\text{[math]}$ 的分布列如下：

X	1	2	3	4	5
P	m	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	n	$\text{[math]}$

若 $\text{[math]}$ ，则（）

A. $\text{[math]}$ B. $\text{[math]}$ C. $\text{[math]}$ D. $\text{[math]}$

多选题容易

3. 袋子中有2个黑球，1个白球，现从袋子中有放回地随机取球4次，每次取一个球，取到白球记0分，黑球记1分，记4次取球的总分数为X ，则（）

A. $\text{[math]}$ B. $\text{[math]}$ C. X的期望 $\text{[math]}$ D. X的方差 $\text{[math]}$

多选题普通

1. “稻草很轻，但是他迎着风仍然坚韧，这就是生命的力量，意志的力量”“当你为未来付出踏踏实实努力的时候，那些你觉得看不到的人和遇不到的风景都终将在你生命里出现”……当读到这些话时，你会切身体会到读书破万卷给予我们的力量．为了解某普通高中学生的阅读时间，从该校随机抽取了 $\text{[math]}$ 名学生进行调查，得到了这 $\text{[math]}$ 名学生一周的平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成九组，绘制成如图所示的频率分布直方图．

(1) 求 $\text{[math]}$ 的值；

(2) 为进一步了解这 $\text{[math]}$ 名学生阅读时间的分配情况，从周平均阅读时间在 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了 $\text{[math]}$ 人，现从这 $\text{[math]}$ 人中随机抽取 $\text{[math]}$ 人，记周平均阅读时间在 $\text{[math]}$ 内的学生人数为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的分布列和数学期望；

(3) 以样本的频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取 $\text{[math]}$ 名学生，用 $\text{[math]}$ 表示这 $\text{[math]}$ 名学生中恰有 $\text{[math]}$ 名学生周平均阅读时间在 $\text{[math]}$ 内的概率，其中 $\text{[math]}$ ．当 $\text{[math]}$ 最大时，写出 $\text{[math]}$ 的值．

解答题普通

2. 某校举办了“我爱古诗词”对抗赛，在每轮对抗赛中，高二年级胜高三年级的率为 $\text{[math]}$ ，高一年级胜高三年级的概率为 $\text{[math]}$ ，且每轮对抗赛的成绩互不影响.

(1) 若高二年级与高三年级进行4轮对抗赛，求高三年级在对抗赛中至少有3轮胜出的概率；

(2) 若高一年级与高三年级进行对抗，高一年级胜2轮就停止，否则开始新一轮对抗，但对抗不超过5轮，求对抗赛轮数X的分布列与数学期望.

解答题普通

3. 某企业产品利润依据产品等级来确定：其中一等品、二等品、三等品的每一件产品的利润分别为100元、50元、50元．为了解产品各等级的比例，检测员从流水线上随机抽取了100件产品进行等级检测，检测结果如下表：

产品等级	一等品	二等品	三等品
样本数量（件）	50	30	20

(1) 若从流水线上随机抽取2件产品，估计2件产品中恰有1件一等品、1件二等品的概率；

(2) 若从流水线上随机抽取3件产品，记X为这3件产品中一等品的件数， $\text{[math]}$ 为这3件产品的利润总额．

①求X的分布列；

②直接写出Y的数学期望 $\text{[math]}$ ．

解答题普通

某厂用鲜牛奶在某台设备上生产 $\text{[math]}$ 两种奶制品．生产1吨A产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨B产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1200元．要求每天B产品的产量不超过A产品产量的2倍，设备每天生产 $\text{[math]}$ 两种产品时间之和不超过12小时. 假定每天可获取的鲜牛奶数量W（单位：吨）是一个随机变量，其分布列为

（Ⅰ）求Z的分布列和均值；该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z（单位：元）是一个随机变量．

（Ⅱ）若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率．

解答题普通