200多年前，10岁的高斯充分利用数字1，2，3，， 100的“对称”特征，给出了计算的快捷方法．教材示范了根据高斯算法的启示推导等差数列的前项和公式的过程．实事上，高斯算法的依据是：若函数的图象关于点对称，则对恒成立．已知函数．

1. 200多年前，10岁的高斯充分利用数字1，2，3， $\text{[math]}$ ， 100的“对称”特征，给出了计算 $\text{[math]}$ 的快捷方法．教材示范了根据高斯算法的启示推导等差数列的前 $\text{[math]}$ 项和公式的过程．实事上，高斯算法的依据是：若函数 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 的图象关于点 $\text{[math]}$ 对称，则 $\text{[math]}$ 对 $\text{[math]}$ 恒成立．已知函数 $\text{[math]}$ ．

(1) 求 $\text{[math]}$ 的值；

(2) 设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，记数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，求证 $\text{[math]}$ ．

【考点】

数列的求和;

【答案】

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解答题普通

1. 已知等差数列 $\text{[math]}$ 满足： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ． $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$ ．

（Ⅰ）求 $\text{[math]}$ 及 $\text{[math]}$ ；

（Ⅱ）令 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ），求数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ ．

解答题普通

2. 若数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ .

(1) 求 $\text{[math]}$ 的通项公式；

(2) 若数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，求数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ .

解答题普通

3. 甲、乙两同学在复习数列时发现原来曾经做过的一道数列问题因纸张被破坏，导致一个条件看不清，具体如下：等比数列 $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$ ，已知_____，

(1) 判断 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的关系；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ .

甲同学记得缺少的条件是首项a₁的值，乙同学记得缺少的条件是公比q的值，并且他俩都记得第（1）问的答案是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 成等差数列.如果甲、乙两同学记得的答案是正确的，请你通过推理把条件补充完整并解答此题.

解答题普通