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1. 如图，△ABC为等边三角形，点P是线段AC上一动点（点P不与A，C重合），连接BP，过点A作直线BP的垂线段，垂足为点D，将线段AD绕点A逆时针旋转 得到线段AE，连接DE，CE．

(1) 求证：BD=CE；
(2) 延长ED交BC于点F，求证：F为BC的中点．
【考点】
三角形全等的判定; 等边三角形的性质;
【答案】

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综合题 普通
能力提升
真题演练
换一批
1. 问题情境：小明和小丽共同探究一道数学题：如图①，在△ABC中，点D是边BC的中点，∠BAD = 65°，∠DAC = 50°，AD = 2，求AC的长为多少．

(1) 探索发现；

小明的思路是：延长AD至点E ， 使DE = AD ， 构造全等三角形．

小丽的思路是：过点C作CE∥AB ， 交AD的延长线于点E ， 构造全等三角形．

选择小明、小丽其中一人的方法解决问题情境中的问题．
(2) 类比应用：如图②，

在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点O是BD的中点，AB⊥AC．若∠CAD=45°，∠ADC = 67.5°，AO = 2，则BC的长为．
综合题 普通
2.

已知：点P是平行四边形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A、C重合），分别过点A、C向直线BP作垂线，垂足分别为E、F，点O为AC的中点．

(1) 当点P与点O重合时如图1，求证：OE=OF
(2) 直线BP绕点B逆时针方向旋转，当点P在对角线AC上时，且∠OFE=30°时，如图2，猜想线段CF、AE、OE之间有怎样的数量关系？并给予证明．
(3) 当点P在对角线CA的延长线上时，且∠OFE=30°时，如图3，猜想线段CF、AE、OE之间有怎样的数量关系？直接写出结论即可．
综合题 普通
3. 已知△ABC是等腰三角形，AB=AC．

(1)

特殊情形：如图1，当DE∥BC时，有DBEC．（填“＞”，“＜”或“=”）
(2)

发现探究：若将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）到图2位置，则（1）中的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
(3)

拓展运用：如图3，P是等腰直角三角形ABC内一点，∠ACB=90°，且PB=1，PC=2，PA=3，求∠BPC的度数．
综合题 普通