如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过坐标原点，与x轴正半轴交于点A ，该抛物线的顶点为M ，直线经过点A ，与y轴交于点B ，连接．

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1. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ 经过坐标原点，与x轴正半轴交于点A ，该抛物线的顶点为M ，直线 $\text{[math]}$ 经过点A ，与y轴交于点B ，连接 $\text{[math]}$ ．

(1) 求b的值及点M的坐标；

(2) 将直线 $\text{[math]}$ 向下平移，得到过点M的直线 $\text{[math]}$ ，且与x轴负半轴交于点C ，取点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ：

(3) 点E是线段 $\text{[math]}$ 上一动点，点F是线段 $\text{[math]}$ 上一动点，连接 $\text{[math]}$ ，线段 $\text{[math]}$ 的延长线与线段 $\text{[math]}$ 交于点G ．当 $\text{[math]}$ 时，是否存在点E ，使得 $\text{[math]}$ ？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】

待定系数法求一次函数解析式; 待定系数法求二次函数解析式; 二次函数与一次函数的综合应用; 二次函数-动态几何问题;

【答案】

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综合题困难

1. 为研究某种化学试剂的挥发情况，某研究团队在两种不同的场景下做对比实验，收集了该试剂挥发过程中剩余质量y（克）随时间x（分钟）变化的数据（ $\text{[math]}$ ），并分别绘制在直角坐标系中，如下图所示．

(1) 从 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 中，选择适当的函数模型分别模拟两种场景下 $\text{[math]}$ 随 $\text{[math]}$ 变化的函数关系，并求出相应的函数表达式；

(2) 查阅文献可知，该化学试剂发挥作用的最低质量为3克．在上述实验中，该化学试剂在哪种场景下发挥作用的时间更长？

综合题普通

2. 根据以下素材，探索完成任务．

如何调整蔬菜大棚的结构？
素材1	我国的大棚（如图1）种植技术已十分成熟，一块土地上有一个蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在墙体 $\text{[math]}$ 上，另一端固定在墙体 $\text{[math]}$ 上，其横截面有2根支架 $\text{[math]}$ ，相关数据如图2所示，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
素材2	已知大棚有200根长为 $\text{[math]}$ 的支架和200根长为 $\text{[math]}$ 的支架，为增加棚内空间，拟将图2中棚顶向上调整，支架总数不变，对应支架的长度变化如图3所示，调整后C与E上升相同的高度，增加的支架单价为60元/米（接口忽略不计），现有改造经费32000元．
问题解决
任务1	确定大棚形状	在图2中以点O为原点， $\text{[math]}$ 所在直线为y轴建立平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
任务2	尝试改造方案	当 $\text{[math]}$ 米，只考虑经费情况下，请通过计算说明能否完成改造．
任务3	拟定最优方案	只考虑经费情况下，求出 $\text{[math]}$ 的最大值．

综合题普通

3. 如图，抛物线y＝ $\text{[math]}$ x²+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1，且经过点A（1，0）.

(1) 求抛物线的函数表达式和顶点P的坐标；

(2) 求直线AP的函数表达式.

综合题普通