已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点（不与点A，B重合），过点C作AB的垂线交⊙O于点D，垂足为E点.

1. 已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点（不与点A，B重合），过点C作AB的垂线交⊙O于点D，垂足为E点.

(1) 如图1，当AE=4，BE=2时，求CD的长度；

(2) 如图2，连接AC，BD，点M为BD的中点.求证：ME⊥AC.

【考点】

勾股定理的应用; 直角三角形斜边上的中线;

【答案】

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综合题困难

1. 如图，一艘船由A港沿北偏东60°方向航行10km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行10km至C港。

(1) 求A，C两港之间的距离（结果保留到0.1km，参考数据： $\text{[math]}$ ≈1.414， $\text{[math]}$ ≈1.732）；

(2) 确定C港在A港的什么方向。

综合题普通

2. 如图，A，B是海面上位于东西方向的两个观测点，有一艘海轮在C点处遇险发出求救信号，此时测得C点位于观测点A的北偏东45°方向上，同时位于观测点B的北偏西60°方向上，且测得C点与观测点A的距离为 $\text{[math]}$ 海里.

(1) 求观测点B与C点之间的距离；

(2) 有一艘救援船位于观测点B的正南方向且与观测点B相距30海里的D点处，在接到海轮的求救信号后立即前往营救，其航行速度为42海里/小时，求救援船到达C点需要的最少时间.

综合题普通

3. 如图，一个梯子 $\text{[math]}$ 斜靠在一面墙上，梯子底端为A，梯子的顶端B距地面的垂直距离为 $\text{[math]}$ 的长．

(1) 若梯子的长度是 $\text{[math]}$ ，梯子的顶端B距地面的垂直距离为 $\text{[math]}$ ．如果梯子的顶端下滑 $\text{[math]}$ ，那么梯子的底端A向外滑动多少米?

(2) 设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，请思考，梯子在滑动的过程中，是否一定存在顶端下滑的距离与底端向外滑动的距离相等的情况?若存在，请求出这个距离；若不存在，说明理由．

综合题困难