如图，A，B是海面上位于东西方向的两个观测点，有一艘海轮在C点处遇险发出求救信号，此时测得C点位于观测点A的北偏东45°方向上，同时位于观测点B的北偏西60°方向上，且测得C点与观测点A的距离为海里.

1. 如图，A，B是海面上位于东西方向的两个观测点，有一艘海轮在C点处遇险发出求救信号，此时测得C点位于观测点A的北偏东45°方向上，同时位于观测点B的北偏西60°方向上，且测得C点与观测点A的距离为 $\text{[math]}$ 海里.

(1) 求观测点B与C点之间的距离；

(2) 有一艘救援船位于观测点B的正南方向且与观测点B相距30海里的D点处，在接到海轮的求救信号后立即前往营救，其航行速度为42海里/小时，求救援船到达C点需要的最少时间.

【考点】

勾股定理的应用;

【答案】

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综合题普通

1. 如图，一艘船由A港沿北偏东60°方向航行10km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行10km至C港。

(1) 求A，C两港之间的距离（结果保留到0.1km，参考数据： $\text{[math]}$ ≈1.414， $\text{[math]}$ ≈1.732）；

(2) 确定C港在A港的什么方向。

综合题普通

2. 如图，一个梯子 $\text{[math]}$ 斜靠在一面墙上，梯子底端为A，梯子的顶端B距地面的垂直距离为 $\text{[math]}$ 的长．

(1) 若梯子的长度是 $\text{[math]}$ ，梯子的顶端B距地面的垂直距离为 $\text{[math]}$ ．如果梯子的顶端下滑 $\text{[math]}$ ，那么梯子的底端A向外滑动多少米?

(2) 设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，请思考，梯子在滑动的过程中，是否一定存在顶端下滑的距离与底端向外滑动的距离相等的情况?若存在，请求出这个距离；若不存在，说明理由．

综合题困难

3. 某高速公路管理部门工作人员在对某段高速公路进行安全巡检过程中，发现该高速公路旁的一斜坡存在落石隐患．该斜坡横断面示意图如图所示，水平线 $\text{[math]}$ ，点A、B分别在 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上，斜坡AB的长为18米，过点B作 $\text{[math]}$ 于点C，且线段AC的长为 $\text{[math]}$ 米．

(1) 求该斜坡的坡高BC；（结果用最简根式表示）

(2) 为降低落石风险，该管理部门计划对该斜坡进行改造，改造后的斜坡坡脚 $\text{[math]}$ 为60°，过点M作 $\text{[math]}$ 于点N，求改造后的斜坡长度比改造前的斜坡长度增加了多少米？

综合题普通