已知ai＞0（i=1，2，…，n），考查①；②；③ ．归纳出对a1 ， a2 ， …，an都成立的类似不等式，并用数学归纳法加以证明．

1. 数学归纳法是一种数学证明方法，通常被用于证明某个给定命题在整个（或者局部）自然数范围内成立．证明分为下面两个步骤：1．证明当 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）时命题成立；2．假设 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ）时命题成立，推导出在 $\text{[math]}$ 时命题也成立．

用模取余运算： $\text{[math]}$ 表示“整数 $\text{[math]}$ 除以整数 $\text{[math]}$ ，所得余数为整数 $\text{[math]}$ ”．用带余除法可表示为：被除数＝除数×商＋余数，即 $\text{[math]}$ ，整数 $\text{[math]}$ 是商．如 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；再如 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．当 $\text{[math]}$ 时，则称 $\text{[math]}$ 整除 $\text{[math]}$ ．

现从序号分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， …， $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ 个人中选出一名幸运者，为了增加趣味性，特制定一个遴选规则：大家按序号围成一个圆环，然后依次报数，每报到 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）时，此人退出圆环；直到最后剩1个人停止，此人即为幸运者，该幸运者的序号下标记为 $\text{[math]}$ ．如 $\text{[math]}$ 表示当只有1个人时幸运者就是 $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ 表示当有6个人而 $\text{[math]}$ 时幸运者是 $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ 表示当有6个人而 $\text{[math]}$ 时幸运者是 $\text{[math]}$ ．

(1) 求 $\text{[math]}$ ；

(2) 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ；当 $\text{[math]}$ 时，解释上述递推关系式的实际意义；

(3) 由（2）推测当 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）时， $\text{[math]}$ 的结果，并用数学归纳法证明．

解答题普通

1. 用数学归纳法证明不等式“ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ ＞ $\text{[math]}$ （n＞2）”时的过程中，由n=k到n=k+1时，不等式的左边（　　）

A. 增加了一项 $\text{[math]}$ B. 增加了两项 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ C. 增加了两项 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，又减少了一项 $\text{[math]}$ D. 增加了一项 $\text{[math]}$ ，又减少了一项 $\text{[math]}$

单选题普通

2. 已知n为正偶数，用数学归纳法证明 $\text{[math]}$ 时，若已假设 $\text{[math]}$ 为偶数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证n=（）时等式成立（）

A. n=k+1 B. n=k+2 C. n=2k+2 D. n=2(k+2)

单选题普通

1. 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的最大值为 $\text{[math]}$ ．

(1) 求实数a的值；

(2) 若数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．

（ⅰ）当 $\text{[math]}$ 时，比较 $\text{[math]}$ 与1的大小，并说明理由；

（ⅱ）求证： $\text{[math]}$ ．

解答题困难

2. 一个与自然数 $\text{[math]}$ 有关的命题，如果：

①当 $\text{[math]}$ 时，命题成立；

②在假设“当 $\text{[math]}$ 时，命题成立”的前提下，能够推出“当 $\text{[math]}$ 时，合题成立”．

那么，命题对于任何不小于 $\text{[math]}$ 的自然数 $\text{[math]}$ 成立．

上述方法，称为“数学归纳法”．

例如，利用“数学归纳法”证明：平面内的 $\text{[math]}$ 个圆将平面至多分为 $\text{[math]}$ 个区域，其中 $\text{[math]}$ ．

注意1个圆将平面分为2个区域．当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ．

所以，当 $\text{[math]}$ 时，命题成立．

假设当 $\text{[math]}$ 时，命题成立，即平面内的 $\text{[math]}$ 个圆将平面至多分为 $\text{[math]}$ 个区域．

在此基础上，增加1个圆．

为使区域最多，应使增加的圆与前 $\text{[math]}$ 个圆均相交，于是增加了 $\text{[math]}$ 个交点， $\text{[math]}$ 个交点将增加的圆分为 $\text{[math]}$ 段弧， $\text{[math]}$ 段弧分别将其经过的区域分为2个区域，于是增加了 $\text{[math]}$ 个区域．