已知函数，在上的最大值为．

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1. 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的最大值为 $\text{[math]}$ ．

(1) 求实数a的值；

(2) 若数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．

（ⅰ）当 $\text{[math]}$ 时，比较 $\text{[math]}$ 与1的大小，并说明理由；

（ⅱ）求证： $\text{[math]}$ ．

【考点】

利用导数研究函数最大（小）值; 基本不等式在最值问题中的应用; 反证法与放缩法; 数学归纳法的应用;

【答案】

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解答题困难

1. 已知曲线 $\text{[math]}$ 上任意一点到点 $\text{[math]}$ 的距离与到直线 $\text{[math]}$ 的距离之比为 $\text{[math]}$ .

(1) 求 $\text{[math]}$ 的方程.

(2) 若点 $\text{[math]}$ 在圆 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的两条切线， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是切点.

（i）求点 $\text{[math]}$ 的纵坐标的取值范围；

（ii）求 $\text{[math]}$ 的面积S的最大值.

附：若曲线 $\text{[math]}$ 的两条切线相交于点 $\text{[math]}$ ，则两侧切点所在直线的方程为 $\text{[math]}$ .

解答题困难

2. 已知抛物线 $\text{[math]}$ ，过其焦点 $\text{[math]}$ 的直线与抛物线交于 $\text{[math]}$ 两点，且 $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ . 分别过 $\text{[math]}$ 两点作该抛物线的切线，交于点 $\text{[math]}$ .

(1) 求抛物线的方程；

(2) 过点 $\text{[math]}$ 作直线 $\text{[math]}$ 的平行线交抛物线于 $\text{[math]}$ 两点，分别记 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求出 $\text{[math]}$ 的取值范围；

(3) 分别以 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 为直径作圆 $\text{[math]}$ ，记两圆交点为 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为直径作圆，求该圆的面积取值范围.

解答题困难

3. 已知函数 $\text{[math]}$ .

(1) 若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值；

(2) 若 $\text{[math]}$ 有且只有两个零点，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围.

解答题普通