1.
一个与自然数
有关的命题，如果：
①当时，命题成立；
②在假设“当时，命题成立”的前提下，能够推出“当
时，合题成立”．
那么，命题对于任何不小于的自然数
成立．
上述方法，称为“数学归纳法”．
例如，利用“数学归纳法”证明：平面内的个圆将平面至多分为
个区域，其中
．
注意1个圆将平面分为2个区域．当时，
．
所以，当时，命题成立．
假设当时，命题成立，即平面内的
个圆将平面至多分为
个区域．
在此基础上，增加1个圆．
为使区域最多，应使增加的圆与前个圆均相交，于是增加了
个交点，
个交点将增加的圆分为
段弧，
段弧分别将其经过的区域分为2个区域，于是增加了
个区域．
从而，平面内的个圆将平面至多分为
个区域．
当时，
．
所以，当时，合题成立．
综上，命题对于任何成立．
利用“数学归纳法”证明：
(1)
， 其中
．
(2)
， 其中 ， 
．
【考点】
数学归纳法的应用;
真题演练