已知函数 .

1. 已知函数 $\text{[math]}$ .

(1) 讨论函数 $\text{[math]}$ 的极值；

(2) 当 $\text{[math]}$ 时，记函数 $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最大值.

【考点】

利用导数研究函数的极值; 利用导数研究函数最大（小）值;

【答案】

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解答题困难

1. 设函数 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ．

(1) 讨论函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的极值；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的导函数，当 $\text{[math]}$ 时，有 $\text{[math]}$ ，求正实数 $\text{[math]}$ 的取值范围．

解答题困难

2. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

(1) 证明： $\text{[math]}$ ；

(2) 比较 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的大小.

解答题普通

3. 设函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （e为自然对数的底数）

(1) 若函数 $\text{[math]}$ 有两个极值点，求a的取值范围；

(2) 设函数 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的导函数，求证： $\text{[math]}$ 的极小值不大于1.

解答题困难