设a ， b为实数，且，函数 (注：是自然对数的底数)

1. 设a ， b为实数，且 $\text{[math]}$ ，函数 $\text{[math]}$

(注： $\text{[math]}$ 是自然对数的底数)

(1) 求函数 $\text{[math]}$ 的单调区间；

(2) 若对任意 $\text{[math]}$ ，函数 $\text{[math]}$ 有两个不同的零点，求a的取值范围；

(3) 当 $\text{[math]}$ 时，证明：对任意 $\text{[math]}$ ，函数 $\text{[math]}$ 有两个不同的零点 $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ .

【考点】

函数的单调性与导数正负的关系; 利用导数研究函数的极值; 利用导数研究函数最大（小）值;

【答案】

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解答题困难

1. 设函数 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ．

(1) 讨论函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的极值；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的导函数，当 $\text{[math]}$ 时，有 $\text{[math]}$ ，求正实数 $\text{[math]}$ 的取值范围．

解答题困难

2. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

(1) 证明： $\text{[math]}$ ；

(2) 比较 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的大小.

解答题普通

3. 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

(1) 求函数 $\text{[math]}$ 的单调区间和最值；

(2) 求证：当 $\text{[math]}$ 时 $\text{[math]}$ ；当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ；

(3) 若存在 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，证明 $\text{[math]}$ .

解答题困难