已知数列{an}的前n项和为Sn ， a1＝3，an+1＝2Sn+3(n∈N*)．

1. 已知数列{a_n}的前n项和为S_n ， a₁＝3，a_n₊₁＝2S_n+3(n∈N^*)．

(1) 求数列{a_n}的通项公式；

(2) 设b_n＝log₃a_n ，若数列 $\text{[math]}$ 的前n项和为T_n ，证明：T_n＜1．

【考点】

数列的函数特性;

【答案】

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解答题普通

1. 已知数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

(1) 求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；

(2) 设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值.

解答题普通

2. 若无穷数列 $\text{[math]}$ 和无穷数列 $\text{[math]}$ 满足：存在正常数A，使得对任意的 $\text{[math]}$ ，均有 $\text{[math]}$ ，则称数列 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 具有关系 $\text{[math]}$ ．

(1) 设无穷数列 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 均是等差数列，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，问：数列 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 是否具有关系 $\text{[math]}$ ？说明理由；

(2) 设无穷数列 $\text{[math]}$ 是首项为1，公比为 $\text{[math]}$ 的等比数列， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，证明：数列 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 具有关系 $\text{[math]}$ ，并求A的最小值；

(3) 设无穷数列 $\text{[math]}$ 是首项为1，公差为 $\text{[math]}$ 的等差数列，无穷数列 $\text{[math]}$ 是首项为2，公比为 $\text{[math]}$ 的等比数列，试求数列 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 具有关系 $\text{[math]}$ 的充要条件．

解答题困难

3. 在无穷数列 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$ .

(1) 若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；

(3) 证明： $\text{[math]}$ 中必有一项为1或3.

解答题困难