已知：正方形的边长为4，E是边上的一个动点，过点D作，交的延长线于点F，交对角线于点M，交于点N．

1. 已知：正方形 $\text{[math]}$ 的边长为4，E是边 $\text{[math]}$ 上的一个动点，过点D作 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 的延长线于点F， $\text{[math]}$ 交对角线 $\text{[math]}$ 于点M， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点N．

(1) 求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 求证： $\text{[math]}$ ；

(3) 随着点E在边 $\text{[math]}$ 上的运动， $\text{[math]}$ 的值是否变化？若不变，请求出 $\text{[math]}$ 的值；若变化，请说明理由．

【考点】

相似三角形的判定与性质; 四边形的综合;

【答案】

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综合题困难

1. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .动点 $\text{[math]}$ 以每秒2个单位的速度从点 $\text{[math]}$ 出发，沿着 $\text{[math]}$ 的方向运动，当点 $\text{[math]}$ 到达点 $\text{[math]}$ 时，运动停止.点 $\text{[math]}$ 是点 $\text{[math]}$ 关于点 $\text{[math]}$ 的对称点，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为邻边作平行四边形 $\text{[math]}$ ，设点 $\text{[math]}$ 的运动时间为 $\text{[math]}$ 秒.

(1) 求 $\text{[math]}$ 的长；

(2) 当 $\text{[math]}$ 时，求证： $\text{[math]}$ ；

(3) 是否存在这样的 $\text{[math]}$ 值，使得平行四边形 $\text{[math]}$ 为菱形?若存在，请求出 $\text{[math]}$ 值；若不存在，请说明理由.

综合题困难

2. 如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC．

(1) 求证：△ADE∽△ABC；

(2) 若AD=3，AB=5，求 $\text{[math]}$ 的值．

综合题普通

3. 问题提出：如图（1）， $\text{[math]}$ 是菱形 $\text{[math]}$ 边 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ 是等腰三角形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，探究 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系．

(1) 问题探究：
先将问题特殊化，如图（2），当 $\text{[math]}$ 时，直接写出 $\text{[math]}$ 的大小；

(2) 再探究一般情形，如图（1），求 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系．

问题拓展：

(3) 将图（1）特殊化，如图（3），当 $\text{[math]}$ 时，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

综合题普通