如图，在中，，， .动点以每秒2个单位的速度从点出发，沿着的方向运动，当点到达点时，运动停止.点是点关于点的对称点，过点作于点，以，为邻边作平行四边形，设点的运动时间为秒.

1. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .动点 $\text{[math]}$ 以每秒2个单位的速度从点 $\text{[math]}$ 出发，沿着 $\text{[math]}$ 的方向运动，当点 $\text{[math]}$ 到达点 $\text{[math]}$ 时，运动停止.点 $\text{[math]}$ 是点 $\text{[math]}$ 关于点 $\text{[math]}$ 的对称点，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为邻边作平行四边形 $\text{[math]}$ ，设点 $\text{[math]}$ 的运动时间为 $\text{[math]}$ 秒.

(1) 求 $\text{[math]}$ 的长；

(2) 当 $\text{[math]}$ 时，求证： $\text{[math]}$ ；

(3) 是否存在这样的 $\text{[math]}$ 值，使得平行四边形 $\text{[math]}$ 为菱形?若存在，请求出 $\text{[math]}$ 值；若不存在，请说明理由.

【考点】

相似三角形的判定与性质; 四边形的综合;

【答案】

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综合题困难

1. 如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC．

(1) 求证：△ADE∽△ABC；

(2) 若AD=3，AB=5，求 $\text{[math]}$ 的值．

综合题普通

2. 问题提出：如图（1）， $\text{[math]}$ 是菱形 $\text{[math]}$ 边 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ 是等腰三角形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，探究 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系．

(1) 问题探究：
先将问题特殊化，如图（2），当 $\text{[math]}$ 时，直接写出 $\text{[math]}$ 的大小；

(2) 再探究一般情形，如图（1），求 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系．

问题拓展：

(3) 将图（1）特殊化，如图（3），当 $\text{[math]}$ 时，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

综合题普通

3. 如图，在正方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，将正方形 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 按顺时针方向旋转 $\text{[math]}$ 得到正方形 $\text{[math]}$ ．动点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发，沿 $\text{[math]}$ 方向运动，运动速度为 $\text{[math]}$ ．过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 的垂线，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．设动点 $\text{[math]}$ 的运动时间为 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）．解答下列问题：

(1) 当 $\text{[math]}$ 为何值时， $\text{[math]}$ ？

(2) 设 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的关系式；

(3) 当运动时间为 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的长；

(4) 若 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，在运动的过程中，点 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 两边距离的和是否为定值？请说明理由．

综合题困难