直三棱柱中，，分别是的中点，，为棱上的点．

1. 直三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为棱 $\text{[math]}$ 上的点．

(1) 证明： $\text{[math]}$ ；

(2) 是否存在一点 $\text{[math]}$ ，使得平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成锐二面角的余弦值为 $\text{[math]}$ ？若存在，说明点 $\text{[math]}$ 的位置，若不存在，说明理由．

【考点】

直线与平面垂直的性质; 二面角及二面角的平面角;

【答案】

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解答题普通

1. 地球自西向东自转，造成了太阳每天东升西落运动．因这种现象是地球自转造成的人的视觉效果，所以天文学上把这种运动称为太阳周日视运动，其实质是地球自转的一种反映．研究太阳周日视运动轨迹对分析地球气候、计算当地日出日落时间、理解昼夜长短变化现象、设计建筑物日照时长等有重要意义．太阳周日视运动轨迹与太阳直射地球点有关，也与观测者当地的纬度有关．下图为春分（或秋分）日北纬 $\text{[math]}$ 某地（如我国哈尔滨、松原、鸡西等地区）的太阳周日视运动轨迹图， $\text{[math]}$ 为当地观测者位置，圆平面 $\text{[math]}$ 是观测者所在的地平面．直线 $\text{[math]}$ 为天轴，其垂直于太阳视运动轨迹所在圆平面 $\text{[math]}$ ，且与直线 $\text{[math]}$ 在同一圆面上．两直线 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，夹角 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ ．太阳早上 $\text{[math]}$ 从正东方 $\text{[math]}$ 点的地平面升起，中午 $\text{[math]}$ 处于天空最高点 $\text{[math]}$ ，傍晚 $\text{[math]}$ 从正西方 $\text{[math]}$ 点处落入地平面．

(1) 太阳视运动轨迹所在圆平面 $\text{[math]}$ 与地平面 $\text{[math]}$ 所成锐二面角的平面角为多少？

(2) 若图上 $\text{[math]}$ 点为下午 $\text{[math]}$ 太阳所在位置，此时阳光入射当地地平面的角度（即直线 $\text{[math]}$ 与地平面 $\text{[math]}$ 的夹角）为多少？

解答题困难

2. 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，底面 $\text{[math]}$ 为矩形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ .请用空间向量知识解答下列问题：

(1) 求线段 $\text{[math]}$ 的长；

(2) 若 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 上一点，且 $\text{[math]}$ ，求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 夹角的余弦值.

解答题普通

3. 如图，已知平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为垂足.

(1) 试判断直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的关系，并证明你的结论；

(2) 设直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，若二面角 $\text{[math]}$ 的大小为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成的锐二面角的大小.

解答题普通