已知函数，其中 .（I）判断并证明函数的奇偶性；（II）判断并证明函数在上的单调性；（III）是否存在这样的负实数，使对一切恒成立，若存在，试求出取值的集合；若不存在，说明理由.

1. 已知函数 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ .

（I）判断并证明函数 $\text{[math]}$ 的奇偶性；

（II）判断并证明函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的单调性；

（III）是否存在这样的负实数 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 对一切 $\text{[math]}$ 恒成立，若存在，试求出 $\text{[math]}$ 取值的集合；若不存在，说明理由.

【考点】

奇偶性与单调性的综合;

【答案】

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解答题普通

1. 对于函数 $\text{[math]}$ .

(1) 若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 为奇函数，求a的值；

(2) 若方程 $\text{[math]}$ 恰有一个实根，求实数a的取值范围；

(3) 设 $\text{[math]}$ ，若对任意 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，满足 $\text{[math]}$ ，求实数a的取值范围．

解答题困难

2. 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 是R上的奇函数，

(1) 求实数a的值；

(2) 判断函数 $\text{[math]}$ ）的单调性（不必说明理由），并求不等式 $\text{[math]}$ 的解集；

(3) 若不等式 $\text{[math]}$ 对任意的 $\text{[math]}$ 恒成立，求实数b的取值范围.

解答题普通

3. 已知函数 $\text{[math]}$ 是R上的偶函数，其中e是自然对数的底数．

(1) 求实数 $\text{[math]}$ 的值；

(2) 探究函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的单调性，并证明你的结论；

(3) 若函数 $\text{[math]}$ 有零点，求实数m的取值范围．

解答题困难