为了普及环保知识，增强环保意识，某校从理科甲班抽取60人，从文科乙班抽取50人参加环保知识测试．（Ⅰ）根据题目条件完成下面2×2列联表，并据此判断是否有99%的把握认为环保知识成绩优秀与学生的文理分类有关．优秀人数非优秀人数总计甲班乙班30总计60（Ⅱ）现已知A，B，C三人获得优秀的概率分别为，设随机变量X表示A，B，C三人中获得优秀的人数，求X的分布列及期望E（X）．附：，n=a+b+c+dP（K2＞k0）0.1000.0500.0250.0100.005k02.7063.8415.0246.6357.879

1. 为了普及环保知识，增强环保意识，某校从理科甲班抽取60人，从文科乙班抽取50人参加环保知识测试．

（Ⅰ）根据题目条件完成下面2×2列联表，并据此判断是否有99%的把握认为环保知识成绩优秀与学生的文理分类有关．

	优秀人数	非优秀人数	总计
甲班
乙班		30
总计	60

（Ⅱ）现已知A，B，C三人获得优秀的概率分别为 $\text{[math]}$ ，设随机变量X表示A，B，C三人中获得优秀的人数，求X的分布列及期望E（X）．

附： $\text{[math]}$ ，n=a+b+c+d

P（K²＞k₀）	0.100	0.050	0.025	0.010	0.005
k₀	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879

【考点】

独立性检验的应用;

【答案】

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解答题容易

基础巩固

能力提升

变式训练

拓展培优

真题演练

换一批

1. 吃零食是中学生中普遍存在的现象，吃零食对学生身体发育有诸多不利影响，影响学生的健康成长，下表是性别与吃零食的列联表：

	男	女	总计
喜欢吃零食	5	12	17
不喜欢吃零食	40	28	68
总计	45	40	85

请问喜欢吃零食与性别是否有关？

解答题容易

2. 为了探究学生选报文、理科是否与对外语的兴趣有关，某同学调查了361名高二在校学生，调查结果如下：理科对外语有兴趣的有138人，无兴趣的有98人，文科对外语有兴趣的有73人，无兴趣的有52人．试分析学生选报文、理科与对外语的兴趣是否有关.

解答题容易

3. 为了探究患慢性气管炎与吸烟有无关系，调查了339名50岁以上的人，结果如下表所示，请问：50岁以上的人患慢性气管炎与吸烟习惯有关系吗?

	患慢性气管炎	未患慢性气管炎	合计
吸烟	43	162	205
不吸烟	13	121	134
合计	56	283	339

解答题容易

1. 随着人工智能的进一步发展， $\text{[math]}$ 逐渐进入大众视野． $\text{[math]}$ 是一种基于人工智能的语言模型，具备卓越的自然语言处理能力、广泛的知识覆盖范围和富有创造性的回答能力，是人们学习、工作与生活中的出色助手．尽管如此，也有部分人认为 $\text{[math]}$ 会对人类未来工作产生威胁，由于其在提高工作效率方面的出色表现，将在未来取代一部分人的职业．现对200家 $\text{[math]}$ 企业开展调查，统计每家企业一年内应用 $\text{[math]}$ 的广泛性及招聘人数的增减，得到数据结果统计如下表所示：

$\text{[math]}$ 应用广泛性	招聘人数减少	招聘人数增加	合计
广泛应用	60	50	110
没有广泛应用	40	50	90
合计	100	100	200

(1) 根据小概率 $\text{[math]}$ 的独立性检验，是否有99%的把握认为 $\text{[math]}$ 企业招聘人数的增减与 $\text{[math]}$ 应用的广泛性有关？

(2) 用频率估计概率，从招聘人数减少的企业中随机抽取30家企业，记其中广泛应用 $\text{[math]}$ 的企业有X家，事件“ $\text{[math]}$ ”的概率为 $\text{[math]}$ ．求X的分布列并计算使 $\text{[math]}$ 取得最大值时k的值．

附： $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ．

$\text{[math]}$	0.1	0.05	0.01
$\text{[math]}$	2.706	3.841	6.635

解答题普通

2. 某学校随机调查了1000名学生，将所得数学和语文期末考试成绩的样本观测数据整理得到如下列联表：

数学成绩	语文成绩		合计
数学成绩	优秀	不优秀	合计
优秀	400	200	600
不优秀	200	200	400
合计	600	400	1000

(1) 判断是否有99%的把握认为数学成绩与语文成绩有关联？

(2) 按数学成绩是否优秀用分层随机抽样的方法从1000名学生中选取5人，再从这5人中任选3人，求恰有2名数学成绩优秀的学生被选中的概率．

附： $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ．当 $\text{[math]}$ 时，有99%的把握判断变量A，B有关联．

解答题普通

3. 某地震观测站对地下水位的变化和发生地震的情况进行了1700次观测，列联表如下：

$\text{[math]}$

观测结果是否说明地下水位的变化与地震的发生有关系?

解答题普通

1. 针对时下的“微短剧热”，某文化公司对观众性别和喜欢微短剧是否有关联进行了一次调查，收集整理数据后将所得结果填入相应的 $\text{[math]}$ 列联表中，由列联表中的数据计算得 $\text{[math]}$ ，参照附表，则下列结论正确的是（）

附表：

$\text{[math]}$	0.10	0.05	0.01	0.001
$\text{[math]}$	2.706	3.841	6.635	10.828

A. 根据小概率值 $\text{[math]}$ 的独立性检验，分析认为“观众性别和喜欢微短剧有关联” B. 根据小概率值 $\text{[math]}$ 的独立性检验，分析认为“观众性别和喜欢微短剧没有关联” C. 根据小概率值 $\text{[math]}$ 的独立性检验，分析认为“观众性别和喜欢微短剧有关联” D. 根据小概率值 $\text{[math]}$ 的独立性检验，分析认为“观众性别和喜欢微短剧没有关联”

多选题容易

2. 为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物实验，得到如下药物结果与动物实验的数据：

	患病	未患病
服用药	10	45
没服用药	20	30

由上述数据得出下列结论，其中正确的是（）

附： $\text{[math]}$ ；

$\text{[math]}$	0.05	0.025	0.010	0.005
$\text{[math]}$	3.841	5.024	6.635	7.879

A. 根据小概率值 $\text{[math]}$ 的独立性检验，推断服用药物是有效的，此推断犯错误的概率不超过0.025 B. 根据小概率值 $\text{[math]}$ 的独立性检验，推断服用药物是有效的，此推断犯错误的概率不超过0.01 C. 该药物的预防有效率超过 $\text{[math]}$ D. 若将所有试验数据都扩大到原来的10倍，根据小概率值 $\text{[math]}$ 的独立性检验，推断服用药物是有效的，此推断犯错误的概率不超过0.005

多选题容易

3. 某学校对本校学生的课外阅读进行抽样调查，抽取25名女生，25名男生调查，结果形成以下 $\text{[math]}$ 列联表，通过数据分析，认为喜欢课外阅读与学生性别之间（）

	喜欢课外阅读	不喜欢课外阅读	合计
男生	5	20	25
女生	15	10	25
合计	20	30	50

参考数据及公式如下： $\text{[math]}$

$\text{[math]}$	0.050	0.010	0.001
$\text{[math]}$	3.841	6.635	10.828

A. 不能根据小概率的 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ 独立性检验认为两者有关 B. 根据小概率的 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ 独立性检验认为两者有关 C. 根据小概率的 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ 独立性检验认为两者有关 D. 根据小概率的 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ 独立性检验认为两者无关

单选题容易

1. 机动车行经人行横道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行横道，应当停车让行，俗称"礼让行人”.下表是某市一主干道路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员不“礼让行人”行为统计数据：

月份	1	2	3	4	5
违章驾驶人次	125	105	100	90	80

附： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （其中 $\text{[math]}$ ）

$\text{[math]}$	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010
$\text{[math]}$	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635

(1) 由表中看出，可用线性回归模型拟合违章人次 $\text{[math]}$ 与月份 $\text{[math]}$ 之间的关系，求 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的回归方程 $\text{[math]}$ ，并预测该路口7月份不“礼让行人”违规驾驶人次；

(2) 交警从这5个月内通过该路口的驾驶员中随机抽查90人，调查驾驶员“礼让行人”行为与驾龄的关系，得到下表：

	不礼让行人	礼让行人
驾龄不超过2年	24	16
驾龄2年以上	26	24

能否据此判断有90%的把握认为“礼让行人行为与驾龄有关?

解答题普通

2. 某医学研究团队经过研究初步得出检测某种疾病的患病与否和某项医学指标有关，利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值 $\text{[math]}$ ，将该指标大于 $\text{[math]}$ 的人判定为阳性（患病），小于或等于 $\text{[math]}$ 的人判定为阴性（未患病）.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率.

(1) 随机抽取男女各500人进行检验，采用临界值 $\text{[math]}$ 进行判定时，误判共10人（漏诊与误诊之和），其中2男8女，写出 $\text{[math]}$ 列联表，依据小概率值 $\text{[math]}$ 的独立性检验，能否认为误判与性别有关？

(2) 经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布表：

指标	[95，100]	（100，105]	（105，110]	（110，115]	（115，120]	（120，125]	（125，130]
患病者频率	0.01	0.06	0.17	0.18	0.2	0.2	0.18
指标	[70，75]	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
未患病者频率	0.19	0.2	0.2	0.18	0.17	0.05	0.01

假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.若漏诊率和误诊率同时控制在 $\text{[math]}$ 以内（小于等于 $\text{[math]}$ ），求临界值 $\text{[math]}$ 的范围；

(3) 在（2）条件下，求出误判率（漏诊率与误诊率之和）最小时的临界值 $\text{[math]}$ 及 $\text{[math]}$ 对应的误诊率和漏诊率.

附： $\text{[math]}$

$\text{[math]}$	0.100	0.050	0.010	0.001
$\text{[math]}$	2.706	3.841	6.635	10.828

解答题困难

3. 近年来，解放军强军兴军的深刻变化，感召了越来越多的高中优秀青年学子献身国防，投身军营.2024年高考，很多高考毕业学生报考了军事类院校．从某地区内学校的高三年级中随机抽取了900名学生，其中男生500人，女生400人，通过调查，有报考军事类院校意向的男生、女生各100名．

(1) 完成给出的列联表，并分别估计该地区高三男、女学生有报考军事类院校意向的概率；

	有报考意向	无报考意向	合计
男学生
女学生
合计

(2) 根据小概率值 $\text{[math]}$ 的独立性检验，能否认为学生有报考军事类院校的意愿与性别有关．

参考公式及数据： $\text{[math]}$ ．

α	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$\text{[math]}$	1.323	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

解答题普通

1. Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型： $\text{[math]}$ ，其中K为最大确诊病例数．当I( $\text{[math]}$ )=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则 $\text{[math]}$ 约为（）（ln19≈3）

A. 60 B. 63 C. 66 D. 69

单选题普通

2. 海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如下：

（Ⅰ）记A表示时间“旧养殖法的箱产量低于50kg”，估计A的概率；

（Ⅱ）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：

	箱产量＜50kg	箱产量≥50kg
旧养殖法
新养殖法

（Ⅲ）根据箱产量的频率分布直方图，对两种养殖方法的优劣进行比较．

附：

P（K²≥K）	0.050	0.010	0.001
K	3.841	6.635	10.828

K²= $\text{[math]}$ ．

解答题普通

3. 某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查了52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是（）

表1

成绩性别	不及格	及格	总计
男	6	14	20
女	10	22	32
总计	16	36	52

表2

视力性别	好	差	总计
男	4	16	20
女	12	20	32
总计	16	36	52

表3

智商性别	偏高	正常	总计
男	8	12	20
女	8	24	32
总计	16	36	52

表4

阅读量性别	丰富	不丰富	总计
男	14	6	20
女	2	30	32
总计	16	36	52

A. 成绩 B. 视力 C. 智商 D. 阅读量

单选题普通