在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，点在点左侧，与轴交于点，抛物线的顶点为，作直线．点是抛物线上的一个动点，且点在抛物线对称轴左侧，过点作轴的垂线，与直线交于点，点关于直线的对称点为，连结、．设点的横坐标为．

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1. 在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点，点 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 左侧，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，抛物线的顶点为 $\text{[math]}$ ，作直线 $\text{[math]}$ ．点 $\text{[math]}$ 是抛物线上的一个动点，且点 $\text{[math]}$ 在抛物线对称轴左侧，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴的垂线，与直线 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 关于直线 $\text{[math]}$ 的对称点为 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．设点 $\text{[math]}$ 的横坐标为 $\text{[math]}$ ．

(1) 求点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的坐标；

(2) 求直线 $\text{[math]}$ 所对应的函数表达式；

(3) 当此抛物线在 $\text{[math]}$ 内部的点的纵坐标 $\text{[math]}$ 随 $\text{[math]}$ 的增大而增大或 $\text{[math]}$ 随 $\text{[math]}$ 的增大而减小时， $\text{[math]}$ 的取值范围为；

(4) 连结 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相似时，直接写出 $\text{[math]}$ 的值．

【考点】

轴对称的性质; 相似三角形的性质; 二次函数-相似三角形的存在性问题;

【答案】

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解答题困难

1. 综合与探究

如图，等腰直角 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，现将该三角形放置在平面直角坐标系中，点 $\text{[math]}$ 坐标为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 坐标为 $\text{[math]}$ .

（1）过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴，求 $\text{[math]}$ 的长及点 $\text{[math]}$ 的坐标；

（2）连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 为坐标平面内异于点 $\text{[math]}$ 的点，且以 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为顶点的三角形与 $\text{[math]}$ 全等，请直接写出满足条件的点 $\text{[math]}$ 的坐标；

（3）已知 $\text{[math]}$ ，试探究在 $\text{[math]}$ 轴上是否存在点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 是以 $\text{[math]}$ 为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，请说明理由.