已知函数，且.

1. 已知函数 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .

(1) 若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；

(3) 求关于 $\text{[math]}$ 的不等式 $\text{[math]}$ 的解集.

【考点】

指数式与对数式的互化; 对数的性质与运算法则;

【答案】

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解答题普通

1. 中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经研究：把茶水放在空气中冷却，如果茶水开始的温度是 $\text{[math]}$ ，室温是 $\text{[math]}$ ，那么tmin后茶水的温度θ（单位：℃）可由公式 $\text{[math]}$ 求得，其中k是常数.为了求出这个k的值，某数学建模兴趣小组在25℃室温下进行了数学实验，先用95℃的水泡制成95℃的茶水，利用温度传感器，测量并记录从 $\text{[math]}$ 开始每一分钟茶水的温度，多次实验后搜集整理到了如下的数据：

tmin	0	1	2	3	4	5
$\text{[math]}$ （℃）	95.00	89.19	84.75	81.19	78.19	75.00

(1) 请你仅利用表中的一组数据 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求k的值，并求出此时 $\text{[math]}$ 的解析式；

(2) 在25℃室温环境下，王老师用95℃的水泡制成的茶水，想等到茶水温度降至45℃时再饮用，根据（1）的结果，王老师要等待多长时间？

（参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， e是自然对数的底数.）

解答题普通

2. 茶是中华民族的举国之饮，发于神农，闻于鲁周公，始于唐朝，兴于宋代，中国茶文化起源久远，历史悠久，文化底蕴深厚，是我国文化中的一朵瑰宝！我国人民历来就有“客来敬茶”的习惯，这充分反映出中华民族的文明和礼貌.现代研究成果显示，茶水的口感与水的温度有关.经实验表明，用 $\text{[math]}$ 的水泡制，待茶水温度降至 $\text{[math]}$ 时，饮用口感最佳.东雅中学利用课余时间开设了活动探究课《中国茶文化》，某实验小组为探究室温下刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1min测量一次茶水温度，得到茶水温度随时间变化的数据如下表：

时间 $\text{[math]}$	0	1	2	3	4	5
水温 $\text{[math]}$	100	91	82.9	78.37	72.53	67.27

设茶水温度从 $\text{[math]}$ 经过 $\text{[math]}$ 后温度变为 $\text{[math]}$ ，现给出以下三种函数模型：

① $\text{[math]}$ ；

② $\text{[math]}$ ；

③ $\text{[math]}$ .

(1) 从上述三种函数模型中选出最符合上述实验的函数模型，并根据前3组数据求出该解析式；

(2) 根据（1）中所求函数模型，求刚泡好的茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.01）（参考数据： $\text{[math]}$ ）；

(3) 考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实，求进行实验时的室温约为多少.

解答题普通

3. 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 若函数 $\text{[math]}$ 的图象与直线 $\text{[math]}$ 没有公共点，求 $\text{[math]}$ 的取值范围；

(2) 若函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，是否存在 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 的最小值为0．若存在，求出 $\text{[math]}$ 的值；若不存在，请说明理由．

解答题普通