我们定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，两边的交点为勾股顶点．例如，在图1中，若CD是中AB边上的高，且，则称为勾股高三角形，点为勾股顶点．

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1. 我们定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，两边的交点为勾股顶点．例如，在图1中，若CD是 $\text{[math]}$ 中AB边上的高，且 $\text{[math]}$ ，则称 $\text{[math]}$ 为勾股高三角形，点 $\text{[math]}$ 为勾股顶点．

(1) 【特例感知】

如图1，CD是 $\text{[math]}$ 中AB边上的高，已知 $\text{[math]}$ ，请通过计算说明 $\text{[math]}$ 是否是勾股高三角形．

(2) 【深入探究】

如图2，已知 $\text{[math]}$ 为勾股高三角形，其中点 $\text{[math]}$ 为勾股顶点，且 $\text{[math]}$ 是AB边上的高．探究线段AD与BC的数量关系，并给予证明．

(3) 【拓展应用】

如图3， $\text{[math]}$ 为勾股高三角形，其中 $\text{[math]}$ 为勾股顶点，且 $\text{[math]}$ 为AB边上的高，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，垂足分别为E，F．若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

【考点】

三角形的面积; 勾股定理;

【答案】

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实践探究题普通

1. 阅读与理解：

三角形的中线的性质：三角形的中线等分三角形的面积，即如图1，AD是△ABC中BC边上的中线，则S_△_ABD=S_△_AC_D= $\text{[math]}$ S_△AB_C ．

操作与探索：

在图2至图4中，△ABC的面积为a．

(1) 如图2，延长△ABC的边BC到点D，使CD=BC，连结DA．若△ACD的面积为S₁ ，则S₁=．（用含a的代数式表示）．

(2) 如图3，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD=BC，AE=CA，连结DE．若△DEC的面积为S₂ ，则S₂=（用含a的代数式表示）．

(3) 在图3的基础上延长AB到点F，使BF=AB，连结FD，FE，得到△DEF（如图4）．若图4中△DEF的面积为S₃ ，则S₃=（用含a的代数式表示）．

实践探究题普通

2. 阅读下面资料：小明遇到这样一个问题：如图 $\text{[math]}$ ，对面积为 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ 逐次进行以下操作：分别延长 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 至 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，顺次连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，得到 $\text{[math]}$ ，记其面积为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

小明是这样思考和解决这个问题的：如图 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ C、 $\text{[math]}$ A、 $\text{[math]}$ ，因为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，根据等高两三角形的面积比等于底之比，所以 $\text{[math]}$ ，由此继续推理，从而解决了这个问题．

(1) 直接写出 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 用含字母 $\text{[math]}$ 的式子表示 $\text{[math]}$ ．

(2) 请参考小明同学思考问题的方法，解决下列问题：

如图 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 内一点，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 并延长分别交边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，则把 $\text{[math]}$ 分成六个小三角形，其中四个小三角形面积已在图上标明，求 $\text{[math]}$ 的面积．

(3) 如图 $\text{[math]}$ ，若点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 上的中线 $\text{[math]}$ 的中点，求 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的比值．

实践探究题普通