某天晚上，小明看到人民广场的人行横道两侧都有路灯，发现自己在两路灯下的影长与自身的站定位置具有一定关系，小明从有关部门查得左侧甲路灯的高度为4.8米，右侧乙路灯的高度为6.4米，两路灯之间的距离为12米，已知小明的身高为1.6米，小明在两路灯之间行走（如图所示），并测量相关数据.

1. 某天晚上，小明看到人民广场的人行横道两侧都有路灯，发现自己在两路灯下的影长与自身的站定位置具有一定关系，小明从有关部门查得左侧甲路灯 $\text{[math]}$ 的高度为4.8米，右侧乙路灯 $\text{[math]}$ 的高度为6.4米，两路灯之间的距离 $\text{[math]}$ 为12米，已知小明的身高 $\text{[math]}$ 为1.6米，小明在两路灯之间行走（如图所示），并测量相关数据.

(1) 当小明站在人行横道的中央时（即点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点），则小明在两路灯下的影长之和 $\text{[math]}$ ________米；

(2) 当小明移动到某一点时， $\text{[math]}$ ，求影长 $\text{[math]}$ 的长度；

(3) 当小明移动到某一点时，两路灯产生的影长相等（ $\text{[math]}$ ），此时小明距离甲路灯多远？

【考点】

等腰三角形的判定与性质; 相似三角形的判定与性质;

【答案】

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解答题普通

1. 已知，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点E是射线CA上的动点，点O是边BC上的动点，且 $\text{[math]}$ ，射线OE交射线BA于点D．

(1) 如图1，如果 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；

(2) 联结AO，如果 $\text{[math]}$ 是以AE为腰的等腰三角形，求线段OC的长；

(3) 当点E在边AC上时，联结 $\text{[math]}$ ，求线段OC的长．

解答题困难

2. 已知 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．点D、E分别是边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上的点（点D不与点B、C重合），且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 相交于点F．

(1) 求 $\text{[math]}$ 的长；

(2) 如图1，如果 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；

(3) 如果 $\text{[math]}$ 是以 $\text{[math]}$ 为腰的等腰三角形，求 $\text{[math]}$ 长．

解答题普通

3. 等腰 $\text{[math]}$ 内接于 $\text{[math]}$ ．点 $\text{[math]}$ 是劣弧 $\text{[math]}$ 的动点，连接 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ．

(1) 如图1，若 $\text{[math]}$ ，

①求 $\text{[math]}$ 的度数；

②若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

(2) 如图2，当 $\text{[math]}$ 刚好过圆心 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的长．

解答题普通