如图1，点P、Q分别是等边边AB、BC上的动点（端点除外），点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、CP交于点M ．

1. 如图1，点P、Q分别是等边 $\text{[math]}$ 边AB、BC上的动点（端点除外），点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、CP交于点M ．

(1) t秒后，点P的运动路程AP与点Q的运动路程BQ；（填“相等”或“不相等”）

(2) 求证： $\text{[math]}$ ；

(3) ①当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，求∠QMC的度数：

②如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M ， ∠QMC的度数发生变化吗?若变化，请直接写出它的度数．

【考点】

三角形全等及其性质; 等边三角形的性质; 三角形全等的判定-SAS; 三角形-动点问题;

【答案】

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综合题困难

1. 在平面直角坐标系中，已知 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 开始沿 $\text{[math]}$ 边向点 $\text{[math]}$ 以 $\text{[math]}$ 的速度移动；点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 开始沿 $\text{[math]}$ 边向点 $\text{[math]}$ 以 $\text{[math]}$ 的速度移动．如果 $\text{[math]}$ 同时出发，用 $\text{[math]}$ 表示移动的时间 $\text{[math]}$ ，

(1) 用含 $\text{[math]}$ 的代数式表示：线段 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．

(2) 当 $\text{[math]}$ 为何值时 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ？

(3) 当 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相似时，求出 $\text{[math]}$ 的值．

综合题普通

2. 已知如图 $\text{[math]}$ 是锐角三角形，分别以边AB、AC为边向外作 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 均为等边三角形，且BE和CD交于点F，连接AF．

(1) 求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 求出 $\text{[math]}$ 的度数；

(3) 求证： $\text{[math]}$ ．

综合题普通

3. 在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是线段BC上的动点（BD＞CD），作射线AD，点B关于射线AD的对称点为E，作直线CE，交射线AD于点F．连接AE，BF．

(1) 依题意补全图形，直接写出∠AFE的度数；

(2) 用等式表示线段AF，CF，BF之间的数量关系，并证明．

综合题困难