老师布置了这样一道作业题：在△ABC中，AB＝AC≠BC，点D和点A在直线BC的同侧，BD＝BC，∠BAC＝α，∠DBC＝β，α＋β＝120°，连接AD，求∠ADB的度数．小聪提供了研究这个问题的过程和思路：先从特殊问题开始研究，当α＝90°，β＝30°时（如图1），利用轴对称知识，以AB为对称轴构造ΔABD的轴对称图形ΔABD' ，连接CD'（如图2），然后利用α＝90°，β＝30°以及等边三角形的相关知识便可解决这个问题．图1 图2（1）请结合小聪研究问题的过程和思路，求出这种特殊情况下∠ADB的度数；（2）结合小聪研究特殊问题的启发，请解决老师布置的这道作业题.

1. 老师布置了这样一道作业题：

在△ABC中，AB＝AC≠BC，点D和点A在直线BC的同侧，BD＝BC，∠BAC＝α，∠DBC＝β，α＋β＝120°，连接AD，求∠ADB的度数．

小聪提供了研究这个问题的过程和思路：先从特殊问题开始研究，当α＝90°，β＝30°时（如图1），利用轴对称知识，以AB为对称轴构造ΔABD的轴对称图形ΔABD^' ，连接CD^'（如图2），然后利用α＝90°，β＝30°以及等边三角形的相关知识便可解决这个问题．

图1 图2

（1）请结合小聪研究问题的过程和思路，求出这种特殊情况下∠ADB的度数；

（2）结合小聪研究特殊问题的启发，请解决老师布置的这道作业题.

【考点】

等边三角形的判定与性质; 三角形全等的判定-SAS;

【答案】

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解答题困难

基础巩固

能力提升

变式训练

拓展培优

真题演练

换一批

1. 如图，E是等边三角形 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数．

解答题容易

2. 如图， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数．

解答题容易

3. 在我国北斗卫星导航系统的精确导航下，一艘货轮在海上以每小时40海里的速度行半小时后货轮到达C处，此时测得灯塔A在其北偏东 $\text{[math]}$ 的方向上，求货轮到达C处时与灯塔A的距离．

综合题容易

1. 如图，已知 $\text{[math]}$ 是边长为 $\text{[math]}$ 的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 方向匀速运动，其中点P运动的速度是 $\text{[math]}$ ，点Q运动的速度是 $\text{[math]}$ ，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为 $\text{[math]}$ ，解答下列问题．

(1) $\text{[math]}$ _________ $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ _________ $\text{[math]}$ ；（用含t的代数式表示）

(2) 如图①，点P与点Q运动的过程中， $\text{[math]}$ 能否成为等边三角形？若能，请求出t的值；若不能，请说明理．

(3) 如图②，点D是 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，点P、点Q在运动过程的某一时刻 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 全等，求此时 $\text{[math]}$ 的长．

解答题普通

2. 如图， $\text{[math]}$ 中，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

对于 $\text{[math]}$ 所在平面内的点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 边上存在不同的两点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，使点 $\text{[math]}$ 关于直线 $\text{[math]}$ 的对称点在 $\text{[math]}$ 上或其内部，则称点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的“ $\text{[math]}$ 关联点”．

在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是等边三角形，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 边上任意一点．

(1) 如图 $\text{[math]}$ ，当点 $\text{[math]}$ 是边 $\text{[math]}$ 的中点时，在点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 中，点是 $\text{[math]}$ 的“ $\text{[math]}$ 关联点”；

(2) 如图 $\text{[math]}$ ，当点 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 上运动时，若点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的“ $\text{[math]}$ 关联点”，

$\text{[math]}$ 则所有点 $\text{[math]}$ 的纵坐标 $\text{[math]}$ 的取值范围是；

$\text{[math]}$ 则所有点 $\text{[math]}$ 构成图形的周长是；

(3) 当点 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 上运动时，若 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的“ $\text{[math]}$ 关联点”，且 $\text{[math]}$ 是等边三角形，点 $\text{[math]}$ 的坐标为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的取值范围是．

解答题困难

3. 如图，在平面直角坐标系中， $\text{[math]}$ 为等边三角形， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 轴上一动点，以 $\text{[math]}$ 为边作等边 $\text{[math]}$ ．

(1) 求证： $\text{[math]}$ ；

(2) $\text{[math]}$ 的度数为；

(3) 当 $\text{[math]}$ 点运动时， $\text{[math]}$ 的长度是否发生变化？若不变化，直接写出 $\text{[math]}$ 的长，若变化请说出变化的规律．

(4) 在 $\text{[math]}$ 轴上找一点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 是等腰三角形，直接写出满足条件的点 $\text{[math]}$ 的坐标．

解答题普通

1. 将两个等边 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 按如图方式放置在等边三角形 $\text{[math]}$ 内．若求四边形 $\text{[math]}$ 和三角形 $\text{[math]}$ 的周长差，则只需知道（）

A. 线段 $\text{[math]}$ 的长 B. 线段 $\text{[math]}$ 的长 C. 线段 $\text{[math]}$ 的长 D. 线段 $\text{[math]}$ 的长

单选题普通

2. 如图，C为线段 $\text{[math]}$ 上一动点（不与A，E重合），在 $\text{[math]}$ 同侧分别作等边 $\text{[math]}$ 和等边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点O， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点P， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点Q，连接 $\text{[math]}$ ，则有以下五个结论：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ ；⑤ $\text{[math]}$ ．其中正确的有（　　）

A. ①③⑤ B. ①③④⑤ C. ①②③⑤ D. ①②③④⑤

单选题普通

3. 城建局计划在市民公园的人工湖上修建一个湖心亭，并铺设四条木栈道分别连接湖边的A，B，C，D四个木栈道入口，供市民散步，欣赏湖上风景．如图是人工湖的平面示意图，湖上有M，N，P，Q四个位置可用于建设湖心亭．为测算建设成本，工作人员利用测量工具测得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．要使铺设木栈道所需要的材料最少，湖心亭应选择建在点，（填“M”，“N”，“P”，“Q”）；此时需要铺设的木栈道总长度为．（用含a，b，c的式子表示）

填空题普通

1. 如图所示， $\text{[math]}$ 是等边三角形，将线段 $\text{[math]}$ 绕点C顺时针旋转 $\text{[math]}$ 得到 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点E，交 $\text{[math]}$ 于点M．

(1) 如图1，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数及 $\text{[math]}$ 的长；

(2) 如图2，以 $\text{[math]}$ 为边作 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ．

(3) 若点P是直线 $\text{[math]}$ 上的一动点，将 $\text{[math]}$ 沿着 $\text{[math]}$ 进行翻折得到 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 最小时，直接写出 $\text{[math]}$ 的值．

证明题困难

2. 如图，四边形 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， E、F分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上的动点．

(1) 如图1，已知： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；则DE的长为（用a表示）

(2) 如图2，已知： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；求：当 $\text{[math]}$ 取得最小值时 $\text{[math]}$ 的值（用b表示）

(3) 如图3，已知：G为 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的角平分线，N为线段 $\text{[math]}$ 上的动点， $\text{[math]}$ ，垂足为M， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求：当 $\text{[math]}$ 取最小值时，求 $\text{[math]}$ 的值（用c，d表示）

解答题困难

(1) 已知 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

①如图1，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 均在边 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；请探究 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系；