如图，在直三棱柱中，，，且、分别是、的中点.

1. 如图，在直三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的中点.

(1) 求直三棱柱 $\text{[math]}$ 的全面积；

(2) 求三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积：

(3) 求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）

【考点】

棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用; 锥体的体积公式及应用;

【答案】

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解答题普通

1. 《瀑布》（图1）是最为人所知的作品之一，图中的瀑布会源源不断地落下，落下的水又逆流而上，荒唐至极，但又会让你百看不腻，画面下方还有一位饶有兴致的观察者，似乎他没发现什么不对劲.此时，他既是画外的观看者，也是埃舍尔自己.画面两座高塔各有一个几何体，左塔上方是著名的“三立方体合体”由三个正方体构成，右塔上的几何体是首次出现，后称“埃舍尔多面体”（图2）

埃舍尔多面体可以用两两垂直且中心重合的三个正方形构造，设边长均为2，定义正方形 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的顶点为“框架点”，定义两正方形交线为“极轴”，其端点为“极点”，记为 $\text{[math]}$ ，将极点 $\text{[math]}$ ，分别与正方形 $\text{[math]}$ 的顶点连线，取其中点记为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，如（图3）.埃舍尔多面体可视部分是由12个四棱锥构成，这些四棱锥顶点均为“框架点”，底面四边形由两个“极点”与两个“中点”构成，为了便于理解，图4我们构造了其中两个四棱锥 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$

(1) 求异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 成角余弦值；

(2) 求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 的夹角正弦值；

(3) 求埃舍尔体的表面积与体积（直接写出答案）.

解答题困难

2. 在空间直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，已知向量 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ .若直线 $\text{[math]}$ 以 $\text{[math]}$ 为方向向量且经过点 $\text{[math]}$ ，则直线 $\text{[math]}$ 的标准式方程可表示为 $\text{[math]}$ ；若平面 $\text{[math]}$ 以 $\text{[math]}$ 为法向量且经过点 $\text{[math]}$ ，则平面 $\text{[math]}$ 的点法式方程表示为 $\text{[math]}$ .

(1) 已知直线 $\text{[math]}$ 的标准式方程为 $\text{[math]}$ ，平面 $\text{[math]}$ 的点法式方程可表示为 $\text{[math]}$ ，求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值；

(2) 已知平面 $\text{[math]}$ 的点法式方程可表示为 $\text{[math]}$ ，平面外一点 $\text{[math]}$ ，求点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离；

(3) （i）若集合 $\text{[math]}$ ，记集合 $\text{[math]}$ 中所有点构成的几何体为 $\text{[math]}$ ，求几何体 $\text{[math]}$ 的体积：

（ii）若集合 $\text{[math]}$ .记集合 $\text{[math]}$ 中所有点构成的几何体为 $\text{[math]}$ ，求几何体 $\text{[math]}$ 相邻两个面（有公共棱）所成二面角的大小

解答题困难

3. 已知三棱锥 $\text{[math]}$ 的三条侧棱 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两两互相垂直，长度分别为2，2，4．

(1) 求该三棱锥的体积；

(2) 求点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离．

解答题普通