在如图所示的试验装置中，两个正方形框架、的边长都是，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子、分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记.

1. 在如图所示的试验装置中，两个正方形框架 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的边长都是 $\text{[math]}$ ，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别在正方形对角线 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 上移动，且 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的长度保持相等，记 $\text{[math]}$ .

(1) 证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

(2) 当 $\text{[math]}$ 为何值时， $\text{[math]}$ 的长最小并求出最小值；

(3) 当 $\text{[math]}$ 的长最小时，求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 夹角的余弦值.

【考点】

平面与平面垂直的性质; 空间向量的夹角与距离求解公式; 用空间向量研究二面角;

【答案】

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解答题普通

1. 如图，已知四棱锥 $\text{[math]}$ 的底面 $\text{[math]}$ 是直角梯形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．求：

(1) 平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成的二面角的正弦值；

(2) 点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离．

解答题普通

2. 如图所示，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

(1) 求实数 $\text{[math]}$ 的值；

(2) 求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 夹角的余弦值；

(3) 若点 $\text{[math]}$ 是直线 $\text{[math]}$ 上的动点，求 $\text{[math]}$ 面积的最小值，并说明此时点 $\text{[math]}$ 的位置.

解答题困难

3. 如图，在三棱锥 $\text{[math]}$ 中，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是以 $\text{[math]}$ 为斜边的等腰直角三角形， $\text{[math]}$ ， O为 $\text{[math]}$ 中点.

(1) 求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

(2) 求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 夹角的余弦值；

解答题普通