如图所示，在四棱锥中，四边形是平行四边形，，，，平面，，点在线段上，且， .

1. 如图所示，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

(1) 求实数 $\text{[math]}$ 的值；

(2) 求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 夹角的余弦值；

(3) 若点 $\text{[math]}$ 是直线 $\text{[math]}$ 上的动点，求 $\text{[math]}$ 面积的最小值，并说明此时点 $\text{[math]}$ 的位置.

【考点】

空间向量的夹角与距离求解公式; 用空间向量研究二面角;

【答案】

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解答题困难

1. 如图，在正方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 点 $\text{[math]}$ 分别在棱 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 上，

$\text{[math]}$

(1) 证明： $\text{[math]}$ ；

(2) 求点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离；

(3) 求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 夹角的余弦值.

解答题普通

2. 在棱长为1的正方体 $\text{[math]}$ 中，E为线段A₁B₁的中点，F为线段AB的中点．

(1) 求点B到直线AC₁的距离；

(2) 求直线FC到平面AEC₁的距离．

解答题普通

3. 已知正四棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 点为棱 $\text{[math]}$ 的中点．

(1) 求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值；

(2) 连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 点为直线 $\text{[math]}$ 上一动点，求当 $\text{[math]}$ 点到直线 $\text{[math]}$ 距离最短时，线段 $\text{[math]}$ 的长度．

解答题普通