为普及抗疫知识、弘扬抗疫精神，某学校组织防疫知识挑战赛．每位选手挑战时，主持人用电脑出题的方式，从题库中随机出道题，编号为，，，电脑依次出题，选手按规则作答，挑战规则如下：①选手每答对一道题目得分，每答错一道题目扣分；②选手若答对第题，则继续作答第题；选手若答错第题，则失去第题的答题机会，从第题开始继续答题；直到道题目出完，挑战结束；③选手初始分为分，若挑战结束后，累计得分不低于分，则选手挑战成功，否则挑战失败．选手甲即将参与挑战，已知选手甲答对题库中任何一题的概率均为，各次作答结果相互独立，且他不会主动放弃任何一次作答机会，求：（1）挑战结束时，选手甲共答对道题的概率；（2）挑战结束时，选手甲恰好作答了道题的概率；（3）选手甲闯关成功的概率．

1. 为普及抗疫知识、弘扬抗疫精神，某学校组织防疫知识挑战赛．每位选手挑战时，主持人用电脑出题的方式，从题库中随机出 $\text{[math]}$ 道题，编号为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，电脑依次出题，选手按规则作答，挑战规则如下：

①选手每答对一道题目得 $\text{[math]}$ 分，每答错一道题目扣 $\text{[math]}$ 分；

②选手若答对第 $\text{[math]}$ 题，则继续作答第 $\text{[math]}$ 题；选手若答错第 $\text{[math]}$ 题，则失去第 $\text{[math]}$ 题的答题机会，从第 $\text{[math]}$ 题开始继续答题；直到 $\text{[math]}$ 道题目出完，挑战结束；

③选手初始分为 $\text{[math]}$ 分，若挑战结束后，累计得分不低于 $\text{[math]}$ 分，则选手挑战成功，否则挑战失败．选手甲即将参与挑战，已知选手甲答对题库中任何一题的概率均为 $\text{[math]}$ ，各次作答结果相互独立，且他不会主动放弃任何一次作答机会，求：

（1）挑战结束时，选手甲共答对 $\text{[math]}$ 道题的概率 $\text{[math]}$ ；

（2）挑战结束时，选手甲恰好作答了 $\text{[math]}$ 道题的概率 $\text{[math]}$ ；

（3）选手甲闯关成功的概率 $\text{[math]}$ ．

【考点】

互斥事件与对立事件; 互斥事件的概率加法公式; 相互独立事件的概率乘法公式;

【答案】

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解答题普通

1. A，B，C三人参加知识闯关比赛，三人闯关成功与否相互独立．已知A闯关成功的概率是 $\text{[math]}$ ， A，B，C三人闯关都成功的概率是 $\text{[math]}$ ， A，B，C三人闯关都不成功的概率是 $\text{[math]}$ ．

(1) 求B，C两人各自闯关成功的概率；

(2) 求A，B，C三人中恰有两人闯关成功的概率；

(3) 求A，B，C三人中至少一人闯关成功的概率．

解答题普通

2. $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 三人参加知识闯关比赛，三人闯关成功与否相互独立.已知 $\text{[math]}$ 闯关成功的概率是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 三人闯关都成功的概率是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 三人闯关都不成功的概率是 $\text{[math]}$ .

(1) 求 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两人各自闯关成功的概率；

(2) 求 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 三人中恰有两人闯关成功的概率.

解答题普通

3. 第22届亚运会已于2023年9月23日至10月8日在我国杭州举行．为庆祝这场体育盛会的胜利召开，某市决定举办一次亚运会知识竞赛，该市 $\text{[math]}$ 社区举办了一场选拔赛，选拔赛分为初赛和决赛，初赛通过后才能参加决赛，决赛通过后将代表 $\text{[math]}$ 社区参加市亚运知识竞赛．已知 $\text{[math]}$ 社区甲、乙、丙3位选手都参加了初赛且通过初赛的概率依次为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，通过初赛后再通过决赛的概率均为 $\text{[math]}$ ，假设他们之间通过与否互不影响．

(1) 求这3人中至多有2人通过初赛的概率；

(2) 求这3人都参加市知识竞赛的概率；

(3) 某品牌商赞助了 $\text{[math]}$ 社区的这次知识竞赛，给参加选拔赛的选手提供了奖励方案：只参加了初赛的选手奖励200元，参加了决赛的选手奖励500元．求三人奖金总额为1200元的概率．

解答题普通