华为Mate60Pro首发了卫星通话功能，使其成为全球首款支持卫星通话的智能手机。我国地球同步卫星“天通一号”在卫星通话中担任重要角色。地球同步卫星发射首先利用火箭将卫星运载至地球附近圆形轨道B，通过多次变轨最终进入地球同步轨道A。如图所示，B轨道离地面高度为h，地球半径为R。已知“天通一号”质量为m，地球自转角速度为，地球表面的重力加速度为g，O为地球中心，引力常量为G。如果规定距地球无限远处为地球引力零势能点，地球附近物体的引力势能可表示为，其中M（未知）为地球质量，m为物体质量，r为物体到地心距离。求：（1）“天通一号”卫星在B轨道的运行周期T；（2）“天通一号”卫星自B轨道运动至A轨道的过程中机械能增加量。

1. 华为Mate60Pro首发了卫星通话功能，使其成为全球首款支持卫星通话的智能手机。我国地球同步卫星“天通一号”在卫星通话中担任重要角色。地球同步卫星发射首先利用火箭将卫星运载至地球附近圆形轨道B，通过多次变轨最终进入地球同步轨道A。如图所示，B轨道离地面高度为h，地球半径为R。已知“天通一号”质量为m，地球自转角速度为 $\text{[math]}$ ，地球表面的重力加速度为g，O为地球中心，引力常量为G。如果规定距地球无限远处为地球引力零势能点，地球附近物体的引力势能可表示为 $\text{[math]}$ ，其中M（未知）为地球质量，m为物体质量，r为物体到地心距离。求：

（1）“天通一号”卫星在B轨道的运行周期T；

（2）“天通一号”卫星自B轨道运动至A轨道的过程中机械能增加量 $\text{[math]}$ 。

【考点】

万有引力定律的应用;

【答案】

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解答题普通

1. 如图所示，“嫦娥一号”卫星在飞向月球的过程中，经“地月转移轨道”到达近月点 $\text{[math]}$ ，为了被月球捕获成为月球的卫星，需要在 $\text{[math]}$ 点进行制动（减速）。制动之后进入轨道Ⅲ，随后在 $\text{[math]}$ 点再经过两次制动，最终进入环绕月球的圆形轨道Ⅰ。已知“嫦娥一号卫星”在轨道Ⅰ上运动时，卫星距离月球的高度为 $\text{[math]}$ ，月球的质量 $\text{[math]}$ ，月球的半径 $\text{[math]}$ ，万有引力恒量为 $\text{[math]}$ 。忽略月球自转，求：

（ $\text{[math]}$ ）“嫦娥一号”在 $\text{[math]}$ 点的加速度 $\text{[math]}$ 。

（ $\text{[math]}$ ）“嫦娥一号”在轨道Ⅰ上绕月球做圆周运动的线速度。

（ $\text{[math]}$ ）若规定两质点相距无际远时引力势能为零，则质量分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的两个质点相距为 $\text{[math]}$ 时的引力势能 $\text{[math]}$ ，式中 $\text{[math]}$ 为引力常量．为使“嫦娥一号”卫星在 $\text{[math]}$ 点进行第一次制动后能成为月球的卫星，同时在随后的运动过程其高度都不小于轨道Ⅰ的高度 $\text{[math]}$ ，试计算卫星第一次制动后的速度大小应满足什么条件。

解答题普通

2. 在宇宙尺度下，物质在空间中的分布是均匀的。大量观测表明，星系（数量巨大的恒星系及星际尘埃组成的系统）间距在逐渐增大，即宇宙正处于膨胀状态。哈勃根据前人观测的数据提出，星系退行速度（远离观测者的速度）v跟星系与观测者的距离r之间的关系为 $\text{[math]}$ ，这一关系称为哈勃定律，式中H称为哈勃参量，仅与时间有关，目前的测量值为 $\text{[math]}$ 。根据宇宙学原理，上述哈勃定律适用于宇宙中任何一处的观察者，任何一个星系都会发现其他星系在径向地远离自己而去。

(1) 星系退行速度的上限是光速c，根据哈勃参量的目前测量值，估算在地球上人们可以观察到的宇宙的最大距离 $\text{[math]}$ 。

(2) 现在的宇宙仍然处于膨胀状态。如果宇宙物质密度足够大，引力减速作用强，膨胀将会停止，而后又会收缩，这样的宇宙称之为封闭宇宙；如果密度小，引力减速作用弱，宇宙会永远膨胀下去，这样的宇宙称之为开放宇宙。如图所示，以观察者O所在位置为球心，取半径为R、质量为M的球体，球面某处星系的质量为m，退行速度大小为v。

已知：质量分布均匀的球壳对于球壳外部的质点的引力，可以将球壳质量视为集中在球心，然后再应用万有引力公式进行计算；相距为R，质量分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的两质点之间的引力势能可表示为 $\text{[math]}$ ，其中G为引力常数。

a.写出球面处该星系与球内物质组成的系统所具有的机械能E的表达式。

b.根据哈勃参量目前测量值，分析说明开放宇宙的密度值 $\text{[math]}$ 应满足什么条件？（用 $\text{[math]}$ 和G以及一些数字表示）

解答题困难

3. 经过长期天文观测，人们在宇宙中已经发现了许多双星系统。现在观察到由A星和B星组成的双星系统，它们“晃动”（实际上是双星围绕某点转动，不过人们往往只能看到它们在晃动）周期均为T，A星的晃动范围为 $\text{[math]}$ ，B星的晃动范围为 $\text{[math]}$ ，如图所示。已知引力常量为G，求A星和B星的质量之和。

解答题普通