为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，教育部启动了“强基计划”的招生改革工作.某校强基招生面试有两道题，两道题都答对者才能通过强基招生面试.假设两题作答相互独立，现有甲､乙､丙三名学生通过考核进入面试环节，他们答对第一题的概率分别是，答对第二题的概率分别是.

1. 为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，教育部启动了“强基计划”的招生改革工作.某校强基招生面试有两道题，两道题都答对者才能通过强基招生面试.假设两题作答相互独立，现有甲､乙､丙三名学生通过考核进入面试环节，他们答对第一题的概率分别是 $\text{[math]}$ ，答对第二题的概率分别是 $\text{[math]}$ .

(1) 求甲考生通过某校强基招生面试的概率；

(2) 求甲､乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率；

(3) 求甲､乙､丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率.

【考点】

互斥事件与对立事件; 相互独立事件的概率乘法公式;

【答案】

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解答题普通

1. 在一场乒乓球赛中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠军.比赛采用“双败淘汰制”，具体赛制为：首先，四人通过抽签两两对阵，胜者进入“胜区”，败者进入“败区”；接下来，“胜区”的两人对阵，胜者进入最后决赛；“败区”的两人对阵，败者直接淘汰出局获第四名，紧接着，“败区”的胜者和“胜区”的败者对阵，胜者晋级最后的决赛，败者获第三名；最后，剩下的两人进行最后的冠军决赛，胜者获得冠军，败者获第二名.甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为 $\text{[math]}$ ，且不同对阵的结果相互独立.

(1) 若 $\text{[math]}$ ，经抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁；

①求甲获得第四名的概率；

②求甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场数的数学期望；

(2) 除“双败淘汰制”外，也经常采用“单败淘汰制”：抽签决定两两对阵，胜者晋级，败者淘汰，直至决出最后的冠军.哪种赛制对甲夺冠有利？请说明理由.

解答题普通

2. 一题多解是由多种途径获得同一数学问题的最终结论，一题多解不但达到了解题的目标要求，而且让学生的思维得以拓展，不受固定思维模式的束缚．学生多角度、多方位地去思考解题的方案，让解题增添了新颖性和趣味性，并在解题中解放了解题思维模式，使得枯燥的数学解题更加丰富而多彩．假设某题共存在4种常规解法，已知小红使用解法一、二、三、四答对的概率分别为 $\text{[math]}$ ，且各种方法能否答对互不影响，小红使用四种解法全部答对的概率为 $\text{[math]}$ ．

(1) 求 $\text{[math]}$ 的值；

(2) 求小红不能正确解答本题的概率；

(3) 求小红使用四种解法解题，其中有三种解法答对的概率．

解答题普通

3. 甲、乙、丙三人各自独立地破译某密码，已知甲、乙都译出密码的概率为 $\text{[math]}$ ，甲、丙都译出密码的概率为 $\text{[math]}$ ，乙、丙都译出密码的概率为 $\text{[math]}$ ．

(1) 分别求甲、乙、丙三人各自译出密码的概率；

(2) 求密码被破译的概率．

解答题普通