在一场乒乓球赛中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠军.比赛采用“双败淘汰制”，具体赛制为：首先，四人通过抽签两两对阵，胜者进入“胜区”，败者进入“败区”；接下来，“胜区”的两人对阵，胜者进入最后决赛；“败区”的两人对阵，败者直接淘汰出局获第四名，紧接着，“败区”的胜者和“胜区”的败者对阵，胜者晋级最后的决赛，败者获第三名；最后，剩下的两人进行最后的冠军决赛，胜者获得冠军，败者获第二名.甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为，且不同对阵的结果相互独立.

1. 在一场乒乓球赛中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠军.比赛采用“双败淘汰制”，具体赛制为：首先，四人通过抽签两两对阵，胜者进入“胜区”，败者进入“败区”；接下来，“胜区”的两人对阵，胜者进入最后决赛；“败区”的两人对阵，败者直接淘汰出局获第四名，紧接着，“败区”的胜者和“胜区”的败者对阵，胜者晋级最后的决赛，败者获第三名；最后，剩下的两人进行最后的冠军决赛，胜者获得冠军，败者获第二名.甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为 $\text{[math]}$ ，且不同对阵的结果相互独立.

(1) 若 $\text{[math]}$ ，经抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁；

①求甲获得第四名的概率；

②求甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场数的数学期望；

(2) 除“双败淘汰制”外，也经常采用“单败淘汰制”：抽签决定两两对阵，胜者晋级，败者淘汰，直至决出最后的冠军.哪种赛制对甲夺冠有利？请说明理由.

【考点】

互斥事件与对立事件; 相互独立事件的概率乘法公式;

【答案】

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解答题普通

1. 甲、乙两人进行围棋比赛，每局胜者得1分，负者得0分，约定一方比另一方多3分或比赛满7局时结束，并规定：当一方比另一方多3分或比赛满7局时，得分多的一方才算赢．假设在每局比赛中不存在平局，且甲每局获胜的概率为 $\text{[math]}$ ，各局比赛相互独立．已知前3局中，甲胜1局，乙胜2局，两人又打了 $\text{[math]}$ 局后比赛结束．

(1) 求甲获得这次比赛胜利的概率；

(2) 求 $\text{[math]}$ 的分布列及期望．

解答题普通

2. 杭州第19届亚运会，是继1990年北京亚运会､2010年广州亚运会之后，中国第三次举办亚洲最高规格的国际综合性体育赛事.2023年9月23日，杭州亚运会开幕式隆重举行.某电商平台亚运周边文创产品直播间，主播为当晚7点前登录该直播间的前 $\text{[math]}$ 名观众设置了两轮“庆亚运､送吉祥物”的抽奖活动.每轮抽奖都是由系统独立､随机地从这 $\text{[math]}$ 名观众中抽取15名幸运观众，抽中者平台会有亚运吉祥物玩偶赠送.而直播时这 $\text{[math]}$ 名观众始终在线，记两次抽奖中被抽中的幸运观众总人数为 $\text{[math]}$ （幸运观众总人数不重复计数，例如若某幸运观众两次都被抽中，但只记为1人）.

(1) 已知小杭是这前 $\text{[math]}$ 名观众中的一人，若小杭被抽中的概率为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；

(2) 当 $\text{[math]}$ 取到最大值时，求 $\text{[math]}$ 的值.

解答题普通

3. 杭州第 $\text{[math]}$ 届亚运会，是继 $\text{[math]}$ 年北京亚运会、 $\text{[math]}$ 年广州亚运会之后，中国第三次举办亚洲最高规格的国际综合性体育赛事. $\text{[math]}$ 年 $\text{[math]}$ 月 $\text{[math]}$ 日，杭州亚运会开幕式隆重举行.某电商平台亚运周边文创产品直播间，主播为当晚 $\text{[math]}$ 点前登录该直播间的前 $\text{[math]}$ 名观众设置了两轮“庆亚运、送吉祥物”的抽奖活动.每轮抽奖都是由系统独立、随机地从这 $\text{[math]}$ 名观众中抽取 $\text{[math]}$ 名幸运观众，抽中者平台会有亚运吉祥物玩偶赠送.而直播时这 $\text{[math]}$ 名观众始终在线，记两次抽奖中被抽中的幸运观众总人数为 $\text{[math]}$ （幸运观众总人数不重复计数，例如若某幸运观众两次都被抽中，但只记为 $\text{[math]}$ 人）.

(1) 已知小杭是这前 $\text{[math]}$ 名观众中的一人，若小杭被抽中的概率为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；

(2) 当 $\text{[math]}$ 取到最大值时，求 $\text{[math]}$ 的值.

解答题普通