甲、乙两人进行围棋比赛，每局胜者得1分，负者得0分，约定一方比另一方多3分或比赛满7局时结束，并规定：当一方比另一方多3分或比赛满7局时，得分多的一方才算赢．假设在每局比赛中不存在平局，且甲每局获胜的概率为，各局比赛相互独立．已知前3局中，甲胜1局，乙胜2局，两人又打了局后比赛结束．

1. 甲、乙两人进行围棋比赛，每局胜者得1分，负者得0分，约定一方比另一方多3分或比赛满7局时结束，并规定：当一方比另一方多3分或比赛满7局时，得分多的一方才算赢．假设在每局比赛中不存在平局，且甲每局获胜的概率为 $\text{[math]}$ ，各局比赛相互独立．已知前3局中，甲胜1局，乙胜2局，两人又打了 $\text{[math]}$ 局后比赛结束．

(1) 求甲获得这次比赛胜利的概率；

(2) 求 $\text{[math]}$ 的分布列及期望．

【考点】

相互独立事件的概率乘法公式;

【答案】

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解答题普通

1. 杭州第19届亚运会，是继1990年北京亚运会､2010年广州亚运会之后，中国第三次举办亚洲最高规格的国际综合性体育赛事.2023年9月23日，杭州亚运会开幕式隆重举行.某电商平台亚运周边文创产品直播间，主播为当晚7点前登录该直播间的前 $\text{[math]}$ 名观众设置了两轮“庆亚运､送吉祥物”的抽奖活动.每轮抽奖都是由系统独立､随机地从这 $\text{[math]}$ 名观众中抽取15名幸运观众，抽中者平台会有亚运吉祥物玩偶赠送.而直播时这 $\text{[math]}$ 名观众始终在线，记两次抽奖中被抽中的幸运观众总人数为 $\text{[math]}$ （幸运观众总人数不重复计数，例如若某幸运观众两次都被抽中，但只记为1人）.

(1) 已知小杭是这前 $\text{[math]}$ 名观众中的一人，若小杭被抽中的概率为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；

(2) 当 $\text{[math]}$ 取到最大值时，求 $\text{[math]}$ 的值.

解答题普通

2. 杭州第 $\text{[math]}$ 届亚运会，是继 $\text{[math]}$ 年北京亚运会、 $\text{[math]}$ 年广州亚运会之后，中国第三次举办亚洲最高规格的国际综合性体育赛事. $\text{[math]}$ 年 $\text{[math]}$ 月 $\text{[math]}$ 日，杭州亚运会开幕式隆重举行.某电商平台亚运周边文创产品直播间，主播为当晚 $\text{[math]}$ 点前登录该直播间的前 $\text{[math]}$ 名观众设置了两轮“庆亚运、送吉祥物”的抽奖活动.每轮抽奖都是由系统独立、随机地从这 $\text{[math]}$ 名观众中抽取 $\text{[math]}$ 名幸运观众，抽中者平台会有亚运吉祥物玩偶赠送.而直播时这 $\text{[math]}$ 名观众始终在线，记两次抽奖中被抽中的幸运观众总人数为 $\text{[math]}$ （幸运观众总人数不重复计数，例如若某幸运观众两次都被抽中，但只记为 $\text{[math]}$ 人）.

(1) 已知小杭是这前 $\text{[math]}$ 名观众中的一人，若小杭被抽中的概率为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；

(2) 当 $\text{[math]}$ 取到最大值时，求 $\text{[math]}$ 的值.

解答题普通

3. 为试验一种新药，某医院把该药分发给 $\text{[math]}$ 位患有相关疾病的志愿者服用.试验方案为：若这 $\text{[math]}$ 位患者中至少有 $\text{[math]}$ 人治愈，则认为这种新药有效；否则认为这种新药无效.假设新药有效，治愈率为 $\text{[math]}$ .

(1) 用 $\text{[math]}$ 表示这 $\text{[math]}$ 位志愿者中治愈的人数，求 $\text{[math]}$ 的期望 $\text{[math]}$ ；

(2) 若 $\text{[math]}$ 位志愿者中治愈的人数恰好为 $\text{[math]}$ ，从 $\text{[math]}$ 人中随机选取 $\text{[math]}$ 人，求 $\text{[math]}$ 人全部治愈的概率；

(3) 求经试验认定该药无效的概率 $\text{[math]}$ （保留4位小数）；根据 $\text{[math]}$ 值的大小解释试验方案是否合理.（依据：当 $\text{[math]}$ 值小于 $\text{[math]}$ 时，可以认为试验方案合理，否则认为不合理.）附：记 $\text{[math]}$ ，参考数据如下：

$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	3	4	5	6	7	8	9	10
$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$

解答题普通