如图，已知， P是内一点，， M、N分别是、上的动点，则的周长的最小值是．

1. 由于木质的衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作，小敏设计了一种柔性衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可.如图1，衣架杆OA=OB=18cm，若衣架收拢时，如图2，∠AOB=60°，则此时AB=cm.

填空题容易

2. 由于木质的衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图1，衣架杆 $\text{[math]}$ ．若衣架收拢时， $\text{[math]}$ ，如图2，则此时A，B两点间的距离是cm．

填空题容易

3. 如图， $\text{[math]}$ 是等边 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 延长线上一点，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则线段 $\text{[math]}$ 的长度为．

填空题容易

1. 如图， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的角平分线上， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 两边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上的动点，当 $\text{[math]}$ 的周长最小时，点 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 距离是.

填空题普通

2. 如图，等边△ABC中，D为AC中点，点P、Q分别为AB、AD上的点，BP＝AQ＝4，QD＝3，在BD上有一动点E，则PE+QE的最小值为．

填空题普通

3. 如图，在△ABC中，AB=AC，BC=4， △ABC的面积是12，AB的垂直平分线EF分别交AB，AC边于点E，F.若点D为BC的中点，点G为线段EF上一动点，则ABDG周长的最小值为

填空题普通

1. 如图，等边 $\text{[math]}$ 中，D为AC中点，点P、Q分别为AB、AD上的点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，在BD上有一动点E，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A. 7 B. 8 C. 10 D. 12

单选题困难

2. 如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=6cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是6cm，则∠AOB的度数是（）

A. 25° B. 30° C. 35° D. 40°

单选题普通

3. 如图，直线a是一条输气管道，A、B是管道同侧的两个村庄，现计划在直线a上修建一个供气站O ，向A、B两村庄供应天然气，在下面四种方案中，铺设管道最短的是（）

单选题普通

如图1，已知 $\text{[math]}$ 为等边三角形，点D为边BC上一动点（点D不与点B ，点C重合）．以AD为边向右侧作等边 $\text{[math]}$ ，连接CE ．求证： $\text{[math]}$ ≌ $\text{[math]}$ ；

图1 图2 图3

(2) 【类比探究】

如图2，若点D在边BC的延长线上，随着动点D的运动位置不同，线段EC、AC、CD之间的数量关系为 ▲ ，请证明你的结论．

(3) 【拓展应用】

如图3，在等边 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点P是边AC上一定点且 $\text{[math]}$ ，若点D为射线BC上动点，以DP为边向右侧作等边 $\text{[math]}$ ，连接CE、BE ．请问： $\text{[math]}$ 是否有最小值？若有，请求出其最小值；若没有，请说明理由．

综合题困难

2. 等边 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 边上一动点，连接 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 关于直线 $\text{[math]}$ 的对称点为点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．

(1) 如图1，点 $\text{[math]}$ 恰好落在 $\text{[math]}$ 的延长线上，则求 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ；

(2) 过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．

①如图2，试判断线段 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 之间的数量关系，并说明理由：

②如图3，直线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 点运动的过程中．当 $\text{[math]}$ 取最小值时，请直接写出线段 $\text{[math]}$ 的长度．

解答题困难

3. 某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：

直线 $\text{[math]}$ 同旁有两个定点A、B，在直线 $\text{[math]}$ 上存在点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 的值最小.解法：如图1，作点 $\text{[math]}$ 关于直线 $\text{[math]}$ 的对称点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 的交点即为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ .请利用上述模型解决下列问题：