【阅读材料】“数形结合”是一种非常重要的数学思想方法．比如：在学习“整式的乘法”时，我们通过构造几何图形，用“等积法”直观地推导出了完全平方和公式：（如图1）．利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题．【方法应用】根据以上材料提供的方法，完成下列问题：

1. 【阅读材料】“数形结合”是一种非常重要的数学思想方法．比如：在学习“整式的乘法”时，我们通过构造几何图形，用“等积法”直观地推导出了完全平方和公式： $\text{[math]}$ （如图1）．利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题．

【方法应用】根据以上材料提供的方法，完成下列问题：

(1) 由图2可得等式：_______；由图3可得等式：_______；

(2) 利用图3得到的结论，解决问题：若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ _______；

(3) 如图4，若用其中 $\text{[math]}$ 张边长为 $\text{[math]}$ 的正方形， $\text{[math]}$ 张边长为 $\text{[math]}$ 的正方形， $\text{[math]}$ 张边长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为 $\text{[math]}$ 长方形（无空隙、无重叠地拼接），则 $\text{[math]}$ _______．

【考点】

多项式乘多项式;

【答案】

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解答题普通

1. 如图，在长方形 $\text{[math]}$ 中，放入6个形状和大小都相同的小长方形，已知小长方形的长为 $\text{[math]}$ ，宽为 $\text{[math]}$ ．

(1) 用含 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的代数式表示长方形 $\text{[math]}$ 的长 $\text{[math]}$ 、宽 $\text{[math]}$ ；

(2) 用含 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的代数式表示阴影部分的面积．

解答题普通

2. 我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（a+b）ⁿ（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的相关规律．

例如：（a+b）⁰＝1，它只有一项，系数为1；

（a+b）¹＝a+b，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；

（a+b）²＝a²+2ab+b² ，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4；

根据以上规律，解答下列问题：

（1）（a+b）⁵展开式的系数和是　　；（a+b）ⁿ展开式的系数和是　　．

（2）当a＝2时，（a+b）⁵展开式的系数和是　　；（a+b）ⁿ展开式的系数和是　　．

解答题普通

3. 有7张如图1规格相同的小长方形纸片，长为a，宽为b（a＞b），按如图2、3的方式不重叠无缝隙地放在矩形ABCD内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示．

（1）如图2，点E、Q、P在同一直线上，点F、Q、G在同一直线上，右下角阴影部分矩形QPCG的面积为　　（用含a、b的代数式表示），左上角阴影部分矩形AFQE的面积为　　（用含a、b的代数式表示），矩形ABCD的面积为　　．（用含a、b的代数式表示）

（2）如图3，点F、H、Q、G在同一直线上，设右下角与左上角的阴影部分的面积的差为S，PC＝x．

①用a、b、x的代数式表示AE

②当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，如果S的值始终保持不变，那么a、b必须满足什么条件？

解答题普通