在等边中，为射线上一点，是外角的平分线，，于如图所示．

1. 在等边 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为射线 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 外角的平分线， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 如图所示．

(1) 求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 若点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上 $\text{[math]}$ 不与 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 点重合 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ．

【考点】

等边三角形的性质; 含30°角的直角三角形; 三角形全等的判定-SAS; 平行线的判定与性质的应用-证明问题;

【答案】

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证明题普通

1. 如图，△ABC是等边三角形，E、F分别是边AB、AC上的点，且AE＝CF，且CE、BF交于点P，且EG⊥BF，垂足为G．

（1）求证：∠ACE＝∠CBF；

（2）若PG＝1，求EP的长度．

证明题普通

2. 已知 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 都是等边三角形．

(1) 如图1，求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 如图2，当点D在 $\text{[math]}$ 的延长线上时，求证： $\text{[math]}$ ；

(3) 如图3，当点D在射线 $\text{[math]}$ 上时，过点E作 $\text{[math]}$ 于点F．猜想线段 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间存在的数量关系，并证明你的猜想．

证明题困难

3. 已知：如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且AE=CD，BE与AD相交于点P，BQ⊥AD于点Q.

(1) 求证：△ABE≌△CAD.

(2) 求∠PBQ的度数.

证明题普通